Номер 822, страница 255 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

822. Выяснить, является положительным или отрицательным число:

1) $\log_3 4,5$;

2) $\log_3 0,45$;

3) $\log_5 25,3$;

4) $\log_{0,5} 9,6$.

Для определения знака логарифма $\log_a b$ необходимо проанализировать его основание $a$ и аргумент $b$. Знак логарифма зависит от того, являются ли основание и аргумент больше или меньше единицы. Это следует из свойств монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Если аргумент $b > 1$, то $\log_a b > \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм положителен.
  • Если $0 < b < 1$, то $\log_a b < \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм отрицателен.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
  • Если аргумент $b > 1$, то $\log_a b < \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм отрицателен.
  • Если $0 < b < 1$, то $\log_a b > \log_a 1 = 0$, следовательно, логарифм положителен.

Простое правило: логарифм положителен, если основание и аргумент находятся "по одну сторону" от единицы (оба больше 1 или оба меньше 1). Логарифм отрицателен, если они находятся "по разные стороны" от единицы.

Рассмотрим число $\log_3 4,5$. Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=4,5$, что также больше 1. Так как основание и аргумент оба больше 1, число является положительным. Формально, поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая и $4,5 > 1$, то $\log_3 4,5 > \log_3 1 = 0$.

Ответ: положительное.

Рассмотрим число $\log_3 0,45$. Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=0,45$, что меньше 1 (и больше 0). Так как основание больше 1, а аргумент меньше 1, число является отрицательным. Формально, поскольку функция $y=\log_3 x$ возрастающая и $0,45 < 1$, то $\log_3 0,45 < \log_3 1 = 0$.

Ответ: отрицательное.

Рассмотрим число $\log_5 25,3$. Основание логарифма $a=5$, что больше 1. Аргумент логарифма $b=25,3$, что также больше 1. Так как и основание, и аргумент больше 1, число является положительным. Формально, поскольку функция $y=\log_5 x$ возрастающая и $25,3 > 1$, то $\log_5 25,3 > \log_5 1 = 0$.

Ответ: положительное.

Рассмотрим число $\log_{0,5} 9,6$. Основание логарифма $a=0,5$, что меньше 1. Аргумент логарифма $b=9,6$, что больше 1. Так как основание меньше 1, а аргумент больше 1, число является отрицательным. Формально, поскольку функция $y=\log_{0,5} x$ убывающая и $9,6 > 1$, то $\log_{0,5} 9,6 < \log_{0,5} 1 = 0$.

Ответ: отрицательное.