Номер 833, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

833. Сравнить значения выражений:

1) $\frac{1}{2} + \lg 3$ и $\lg 19 - \lg 2$;

2) $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2}$ и $\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$;

3) $3 (\lg 7 - \lg 5)$ и $\lg 9 - \frac{2}{3} \lg 8$;

4) $\lg \lg \lg 50$ и $\lg^3 5$.

1) Сравним выражения $\frac{1}{2} + \lg 3$ и $\lg 19 - \lg 2$.

Сначала преобразуем первое выражение. Используем свойство логарифма, представив $\frac{1}{2}$ как $\lg(10^{\frac{1}{2}}) = \lg\sqrt{10}$.
$\frac{1}{2} + \lg 3 = \lg\sqrt{10} + \lg 3$.
По свойству суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ получаем:
$\lg\sqrt{10} + \lg 3 = \lg(3\sqrt{10})$.

Теперь преобразуем второе выражение, используя свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$:
$\lg 19 - \lg 2 = \lg\frac{19}{2} = \lg 9.5$.

Теперь нам нужно сравнить $\lg(3\sqrt{10})$ и $\lg 9.5$.
Поскольку функция $y=\lg x$ является возрастающей, знак неравенства для логарифмов будет таким же, как и для их аргументов. Сравним $3\sqrt{10}$ и $9.5$.
Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:
$(3\sqrt{10})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 9 \cdot 10 = 90$.
$(9.5)^2 = 90.25$.

Поскольку $90 < 90.25$, то $3\sqrt{10} < 9.5$.
Следовательно, $\lg(3\sqrt{10}) < \lg 9.5$.
Ответ: $\frac{1}{2} + \lg 3 < \lg 19 - \lg 2$.

2) Сравним выражения $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2}$ и $\lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.

Преобразуем первое выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} = \frac{\lg(5\sqrt{7})}{2} = \frac{1}{2}\lg(5\sqrt{7}) = \lg((5\sqrt{7})^{\frac{1}{2}}) = \lg(\sqrt{5\sqrt{7}})$.

Теперь сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{5\sqrt{7}}$ и $\frac{5 + \sqrt{7}}{2}$. Так как оба выражения положительны, возведем их в квадрат:
$(\sqrt{5\sqrt{7}})^2 = 5\sqrt{7}$.
$(\frac{5 + \sqrt{7}}{2})^2 = \frac{5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2}{4} = \frac{25 + 10\sqrt{7} + 7}{4} = \frac{32 + 10\sqrt{7}}{4} = 8 + \frac{5}{2}\sqrt{7} = 8 + 2.5\sqrt{7}$.

Сравним $5\sqrt{7}$ и $8 + 2.5\sqrt{7}$.
Вычтем из обеих частей $2.5\sqrt{7}$, чтобы сравнить $5\sqrt{7} - 2.5\sqrt{7}$ и $8$, то есть $2.5\sqrt{7}$ и $8$.
Снова возведем в квадрат (оба числа положительны):
$(2.5\sqrt{7})^2 = (2.5)^2 \cdot 7 = 6.25 \cdot 7 = 43.75$.
$8^2 = 64$.

Так как $43.75 < 64$, то $2.5\sqrt{7} < 8$. Это означает, что $5\sqrt{7} < 8 + 2.5\sqrt{7}$, и, следовательно, $(\sqrt{5\sqrt{7}})^2 < (\frac{5 + \sqrt{7}}{2})^2$.
Поскольку исходные аргументы были положительны, $\sqrt{5\sqrt{7}} < \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.
В силу возрастания функции $y=\lg x$, получаем $\lg(\sqrt{5\sqrt{7}}) < \lg(\frac{5 + \sqrt{7}}{2})$.
Ответ: $\frac{\lg 5 + \lg \sqrt{7}}{2} < \lg \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$.

3) Сравним выражения $3(\lg 7 - \lg 5)$ и $\lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8$.

Преобразуем первое выражение:
$3(\lg 7 - \lg 5) = 3 \lg \frac{7}{5} = \lg ((\frac{7}{5})^3) = \lg \frac{343}{125} = \lg 2.744$.

Преобразуем второе выражение:
$\lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8 = \lg 9 - \lg (8^{\frac{2}{3}}) = \lg 9 - \lg((\sqrt[3]{8})^2) = \lg 9 - \lg(2^2) = \lg 9 - \lg 4 = \lg \frac{9}{4} = \lg 2.25$.

Теперь сравним аргументы полученных логарифмов: $2.744$ и $2.25$.
Так как $2.744 > 2.25$ и функция $y=\lg x$ является возрастающей, то $\lg 2.744 > \lg 2.25$.
Ответ: $3(\lg 7 - \lg 5) > \lg 9 - \frac{2}{3}\lg 8$.

4) Сравним выражения $\lg \lg \lg 50$ и $\lg^3 5$.

Заметим, что $\lg^3 5$ это стандартное обозначение для $(\lg 5)^3$. Сравним знаки этих двух выражений.

Рассмотрим первое выражение $\lg(\lg(\lg 50))$.
Сначала оценим $\lg 50$. Так как $10^1 < 50 < 10^2$, то, логарифмируя по основанию 10, получаем $1 < \lg 50 < 2$.
Далее оценим $\lg(\lg 50)$. Так как $1 < \lg 50 < 2$, то, применяя логарифм еще раз, получаем $\lg 1 < \lg(\lg 50) < \lg 2$, что равносильно $0 < \lg(\lg 50) < \lg 2$.
Наконец, оценим всё выражение. Так как $\lg 2 < \lg 10 = 1$, то $0 < \lg(\lg 50) < 1$. Аргумент внешнего логарифма находится в интервале $(0, 1)$. Десятичный логарифм числа из этого интервала всегда отрицателен.
Следовательно, $\lg(\lg(\lg 50)) < 0$.

Рассмотрим второе выражение $(\lg 5)^3$.
Поскольку $5 > 1$, то $\lg 5 > \lg 1 = 0$. Значение $\lg 5$ является положительным числом. Куб положительного числа также является положительным числом.
Следовательно, $(\lg 5)^3 > 0$.

Сравнивая отрицательное число $\lg(\lg(\lg 50))$ и положительное число $(\lg 5)^3$, мы заключаем, что первое выражение меньше второго.
Ответ: $\lg \lg \lg 50 < \lg^3 5$.