Номер 837, страница 256 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

837. Построить график функции, найти её область определения и множество значений, указать промежутки монотонности:

1) $y = |\log_3 x|;$

2) $y = \log_3 |x|;$

3) $y = \log_2 |3 - x|;$

4) $y = |1 - \log_2 x|.$

1) $y = |\log_3 x|$

Для построения графика функции $y = |\log_3 x|$ сначала построим график основной логарифмической функции $y_0 = \log_3 x$. Это возрастающая функция, определенная для $x > 0$. График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Далее, применяем преобразование модуля ко всей функции: $y = |f(x)|$. Это означает, что часть графика $y_0 = \log_3 x$, которая лежит ниже оси абсцисс (где $y_0 < 0$), симметрично отражается относительно оси абсцисс. Часть графика, которая лежит выше или на оси абсцисс (где $y_0 \ge 0$), остается без изменений.

• При $x \ge 1$, $\log_3 x \ge 0$, поэтому $y = \log_3 x$.
• При $0 < x < 1$, $\log_3 x < 0$, поэтому $y = - \log_3 x$.

В точке $(1, 0)$ график имеет "излом" (точку минимума).

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Так как $\log_3 x$ может принимать любое действительное значение, его модуль $|\log_3 x|$ будет принимать любое неотрицательное значение.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 1]$ функция имеет вид $y = -\log_3 x$. Так как $\log_3 x$ возрастает, то $-\log_3 x$ убывает. Функция убывает.
- На промежутке $[1, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_3 x$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(0, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

2) $y = \log_3 |x|$

Для построения графика функции $y = \log_3 |x|$ используется преобразование $y = f(|x|)$.

Сначала строим график функции $y_0 = \log_3 x$ для $x > 0$. Затем, поскольку функция $y = \log_3|x|$ является четной ($y(-x) = \log_3|-x| = \log_3|x| = y(x)$), ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Мы отражаем построенную для $x>0$ часть графика относительно оси $Oy$, чтобы получить часть графика для $x < 0$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $|x| > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.
$D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Множество значений:
Аргумент функции $|x|$ принимает все значения из $(0; +\infty)$. Логарифм по основанию 3 от таких аргументов может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция имеет вид $y = \log_3(-x)$. Это убывающая функция.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_3 x$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $(0, +\infty)$.

3) $y = \log_2 |3 - x|$

Заметим, что $|3-x| = |-(x-3)| = |x-3|$. Таким образом, функция может быть записана как $y = \log_2|x-3|$.

График этой функции можно получить из графика $y = \log_2|x|$ (аналогичен графику из пункта 2, но с основанием 2) путем сдвига вправо на 3 единицы вдоль оси $Ox$. Прямая $x=3$ становится вертикальной асимптотой. График симметричен относительно прямой $x=3$.

• При $x > 3$, $x-3 > 0$, поэтому $y = \log_2(x-3)$.
• При $x < 3$, $x-3 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$, и $y = \log_2(3-x)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $|3-x| > 0$, что означает $3-x \ne 0$, или $x \ne 3$.
$D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Множество значений:
Аргумент функции $|3-x|$ принимает все значения из $(0; +\infty)$. Логарифм по основанию 2 от таких аргументов может принимать любое действительное значение.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 3)$ функция имеет вид $y = \log_2(3-x)$. Это убывающая функция.
- На промежутке $(3, +\infty)$ функция имеет вид $y = \log_2(x-3)$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(-\infty, 3)$ и возрастает на $(3, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Множество значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 3)$ и возрастает на промежутке $(3, +\infty)$.

4) $y = |1 - \log_2 x|$

Построение графика проведем поэтапно:

1. Строим график $y_0 = \log_2 x$. Это возрастающая функция с асимптотой $x=0$, проходящая через $(1, 0)$ и $(2, 1)$.
2. Строим график $y_1 = -\log_2 x$. Это отражение $y_0$ относительно оси $Ox$, убывающая функция.
3. Строим график $y_2 = 1 - \log_2 x$. Это сдвиг $y_1$ на 1 единицу вверх. Функция убывающая, пересекает ось $Ox$ в точке $x=2$ (т.к. $1-\log_2 2 = 0$).
4. Строим итоговый график $y = |1 - \log_2 x|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси $Ox$ (при $x>2$), отражается вверх. Часть, лежащая выше или на оси (при $0 < x \le 2$), остается на месте. График имеет "излом" в точке $(2, 0)$.

Область определения:
Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x > 0$.
$D(y) = (0; +\infty)$.

Множество значений:
Выражение $1 - \log_2 x$ принимает все действительные значения. Его модуль $|1 - \log_2 x|$ будет принимать все неотрицательные значения.
$E(y) = [0; +\infty)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 2]$ имеем $1 - \log_2 x \ge 0$, поэтому $y = 1 - \log_2 x$. Это убывающая функция.
- На промежутке $[2, +\infty)$ имеем $1 - \log_2 x \le 0$, поэтому $y = -(1 - \log_2 x) = \log_2 x - 1$. Это возрастающая функция.
Таким образом, функция убывает на $(0, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (0; +\infty)$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$. Функция убывает на промежутке $(0, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.