Номер 844, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

844. 1) $ \log_7 (x - 1) \log_7 x = \log_7^2 x $

2) $ \log_{\frac{1}{3}} x \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) = \log_{\frac{1}{3}} (3x - 2) $

3) $ \log_2 (3x + 1) \log_3 x = 2 \log_2 (3x + 1) $

4) $ \log_{\sqrt{3}} (x - 2) \log_5 x = 2 \log_3 (x - 2) $

1) $ \log_{7}(x-1) \log_{7}x = \log_{7}x $
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1 $.
Теперь решим уравнение. Перенесем все члены в левую часть:
$ \log_{7}(x-1) \log_{7}x - \log_{7}x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \log_{7}x $ за скобки:
$ \log_{7}x (\log_{7}(x-1) - 1) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{7}x = 0 $
$ x = 7^0 $
$ x = 1 $
Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($ x > 1 $), поэтому он является посторонним.
Случай 2: $ \log_{7}(x-1) - 1 = 0 $
$ \log_{7}(x-1) = 1 $
$ x - 1 = 7^1 $
$ x - 1 = 7 $
$ x = 8 $
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 8 > 1 $).
Ответ: $ x = 8 $.

2) $ \log_{\frac{1}{3}}x \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ 3x > 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow x > \frac{2}{3} $.
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$ \log_{\frac{1}{3}}x \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) - \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = 0 $
Вынесем общий множитель $ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) $ за скобки:
$ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) (\log_{\frac{1}{3}}x - 1) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{\frac{1}{3}}(3x-2) = 0 $
$ 3x - 2 = (\frac{1}{3})^0 $
$ 3x - 2 = 1 $
$ 3x = 3 $
$ x = 1 $
Корень $ x = 1 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1 > \frac{2}{3} $).
Случай 2: $ \log_{\frac{1}{3}}x - 1 = 0 $
$ \log_{\frac{1}{3}}x = 1 $
$ x = (\frac{1}{3})^1 $
$ x = \frac{1}{3} $
Корень $ x = \frac{1}{3} $ не удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} \ngtr \frac{2}{3} $).
Ответ: $ x = 1 $.

3) $ \log_{2}(3x+1) \log_{3}x = 2 \log_{2}(3x+1) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 0 $.
Перенесем все в левую часть:
$ \log_{2}(3x+1) \log_{3}x - 2 \log_{2}(3x+1) = 0 $
Вынесем $ \log_{2}(3x+1) $ за скобки:
$ \log_{2}(3x+1) (\log_{3}x - 2) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{2}(3x+1) = 0 $
$ 3x + 1 = 2^0 $
$ 3x + 1 = 1 $
$ 3x = 0 $
$ x = 0 $
Корень $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Случай 2: $ \log_{3}x - 2 = 0 $
$ \log_{3}x = 2 $
$ x = 3^2 $
$ x = 9 $
Корень $ x = 9 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 9 > 0 $).
Ответ: $ x = 9 $.

4) $ \log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_{5}x = 2 \log_{3}(x-2) $
Определим ОДЗ:
$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 $.
Преобразуем логарифм по основанию $ \sqrt{3} $ к логарифму по основанию 3, используя свойство $ \log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b $:
$ \log_{\sqrt{3}}(x-2) = \log_{3^{1/2}}(x-2) = \frac{1}{1/2} \log_{3}(x-2) = 2 \log_{3}(x-2) $
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ (2 \log_{3}(x-2)) \log_{5}x = 2 \log_{3}(x-2) $
Перенесем все в левую часть и разделим на 2:
$ 2 \log_{3}(x-2) \log_{5}x - 2 \log_{3}(x-2) = 0 $
$ \log_{3}(x-2) (\log_{5}x - 1) = 0 $
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $ \log_{3}(x-2) = 0 $
$ x - 2 = 3^0 $
$ x - 2 = 1 $
$ x = 3 $
Корень $ x = 3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 > 2 $).
Случай 2: $ \log_{5}x - 1 = 0 $
$ \log_{5}x = 1 $
$ x = 5^1 $
$ x = 5 $
Корень $ x = 5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 5 > 2 $).
Оба корня подходят.
Ответ: $ x = 3; 5 $.