Номер 848, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

848. 1) $2^{3 \\lg x} \\cdot 5^{\\lg x} = 1600;$

2) $2^{\\log_3 x^2} \\cdot 5^{\\log_3 x} = 400;$

3) $\\frac{1}{4+\\lg x} + \\frac{2}{2-\\lg x} = 1;$

4) $\\frac{1}{5-\\lg x} + \\frac{2}{1+\\lg x} = 1.$

Для решения этих уравнений мы воспользуемся свойствами логарифмов и степеней, а также методом введения новой переменной. Для всех уравнений с логарифмами важно помнить про ОДЗ: $x > 0$.

1) $2^{3 \lg x} \cdot 5^{\lg x} = 1600$

Преобразуем множитель с основанием 2, используя свойство $(a^n)^m = a^{nm}$:

$2^{3 \lg x} = (2^3)^{\lg x} = 8^{\lg x}$

Уравнение принимает вид: $8^{\lg x} \cdot 5^{\lg x} = 1600$.

Так как показатели степеней одинаковы, перемножим основания: $(8 \cdot 5)^{\lg x} = 1600 \Rightarrow 40^{\lg x} = 1600$.

Заметим, что $1600 = 40^2$. Следовательно: $\lg x = 2$.

По определению десятичного логарифма: $x = 10^2 = 100$.

Ответ: 100

2) $2^{\log_3 x^2} \cdot 5^{\log_3 x} = 400$

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^n = n \log_a b$:

$\log_3 x^2 = 2 \log_3 x$.

Уравнение: $2^{2 \log_3 x} \cdot 5^{\log_3 x} = 400 \Rightarrow (2^2)^{\log_3 x} \cdot 5^{\log_3 x} = 400$.

$4^{\log_3 x} \cdot 5^{\log_3 x} = 400 \Rightarrow 20^{\log_3 x} = 400$.

Так как $400 = 20^2$, то $\log_3 x = 2$.

Отсюда $x = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

3) $\frac{1}{4+\lg x} + \frac{2}{2-\lg x} = 1$

Пусть $\lg x = t$. Уравнение: $\frac{1}{4+t} + \frac{2}{2-t} = 1$.

ОДЗ для $t$: $t \neq -4, t \neq 2$. Приведем к общему знаменателю $(4+t)(2-t)$:

$\frac{2-t + 2(4+t)}{(4+t)(2-t)} = 1 \Rightarrow \frac{2-t+8+2t}{8-4t+2t-t^2} = 1 \Rightarrow \frac{10+t}{8-2t-t^2} = 1$.

$10 + t = 8 - 2t - t^2 \Rightarrow t^2 + 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = -1, t_2 = -2$.

• $\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0,1$
• $\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = 0,01$

Ответ: 0,1; 0,01

4) $\frac{1}{5-\lg x} + \frac{2}{1+\lg x} = 1$

Пусть $\lg x = t$. Уравнение: $\frac{1}{5-t} + \frac{2}{1+t} = 1$.

ОДЗ для $t$: $t \neq 5, t \neq -1$. Приведем к общему знаменателю $(5-t)(1+t)$:

$\frac{1+t + 2(5-t)}{(5-t)(1+t)} = 1 \Rightarrow \frac{1+t+10-2t}{5+5t-t-t^2} = 1 \Rightarrow \frac{11-t}{5+4t-t^2} = 1$.

$11 - t = 5 + 4t - t^2 \Rightarrow t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

• $\lg x = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$
• $\lg x = 3 \Rightarrow x = 10^3 = 1000$

Ответ: 100; 1000