Номер 853, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

853. 1) $ \text{lg} (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - \text{lg} 25 = x;$

2) $ \text{lg} (2^x + x + 4) = x - x\text{lg} 5.$

1) $\lg (6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x) - \lg 25 = x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$\lg \left(\frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25}\right) = x$

По определению десятичного логарифма ($\lg A = B \iff A = 10^B$):

$\frac{6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x}{25} = 10^x$

Умножим обе части на 25:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x = 25 \cdot 10^x$

Представим $20^x$ и $10^x$ через степени с основаниями 2 и 5:

$20^x = (4 \cdot 5)^x = 4^x \cdot 5^x = (2^2)^x \cdot 5^x = 2^{2x} \cdot 5^x$

$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$

Подставим эти выражения в уравнение:

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot (2^{2x} \cdot 5^x) = 25 \cdot (2^x \cdot 5^x)$

Так как $5^x > 0$ при любом $x$, разделим обе части уравнения на $5^x$:

$6 - 25 \cdot 2^{2x} = 25 \cdot 2^x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $2^x$:

$25 \cdot 2^{2x} + 25 \cdot 2^x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то и $t > 0$.

$25t^2 + 25t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-6) = 625 + 600 = 1225 = 35^2$

$t_1 = \frac{-25 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 + 35}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-25 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 25} = \frac{-25 - 35}{50} = \frac{-60}{50} = -\frac{6}{5}$

Корень $t_2 = -6/5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. Остается один корень $t_1 = 1/5$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x = \frac{1}{5}$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$x = \log_2\left(\frac{1}{5}\right) = \log_2(5^{-1}) = -\log_2 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $2^x = 1/5$ в неравенство $6 \cdot 5^x - 25 \cdot 20^x > 0$.

$20^x = 4^x \cdot 5^x = (2^x)^2 \cdot 5^x = (1/5)^2 \cdot 5^x = \frac{1}{25} \cdot 5^x$.

$6 \cdot 5^x - 25 \cdot \left(\frac{1}{25} \cdot 5^x\right) > 0$

$6 \cdot 5^x - 5^x > 0$

$5 \cdot 5^x > 0$

$5^{x+1} > 0$

Это неравенство верно для любого действительного $x$. Следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: $x = -\log_2 5$.

2) $\lg(2^x + x + 4) = x - x\lg 5$

ОДЗ: $2^x + x + 4 > 0$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$x - x\lg 5 = x(1 - \lg 5)$

Используя то, что $1 = \lg 10$, и свойство разности логарифмов:

$x(\lg 10 - \lg 5) = x\lg\left(\frac{10}{5}\right) = x\lg 2$

Используя свойство степени логарифма $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$x\lg 2 = \lg(2^x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\lg(2^x + x + 4) = \lg(2^x)$

Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы логарифмов:

$2^x + x + 4 = 2^x$

Вычтем $2^x$ из обеих частей уравнения:

$x + 4 = 0$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Подставим $x = -4$ в неравенство $2^x + x + 4 > 0$:

$2^{-4} + (-4) + 4 = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

Поскольку $\frac{1}{16} > 0$, условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $x = -4$.