Номер 851, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (851—860).

851.

1) $\log_2 x - 2 \log_x 2 = -1;$

2) $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5;$

3) $\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3;$

4) $\log_3 x - 6 \log_x 3 = 1.$

1) $\log_2 x - 2 \log_x 2 = -1$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля, а основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице. Таким образом, $x > 0$ и $x \neq 1$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы привести все логарифмы к одному основанию:$\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$.

Теперь подставим это в исходное уравнение:$\log_2 x - 2 \cdot \frac{1}{\log_2 x} = -1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Уравнение примет вид:$t - \frac{2}{t} = -1$.

Так как $x \neq 1$, то $t = \log_2 x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $t$:$t^2 - 2 = -t$.Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:$t^2 + t - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$. Корни уравнения:$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к замене:1. Если $t_1 = 1$, то $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.2. Если $t_2 = -2$, то $\log_2 x = -2$, откуда $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба найденных значения $x=2$ и $x=1/4$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0, x \neq 1$).

Ответ: $2; \frac{1}{4}$.

2) $\log_2 x + \log_x 2 = 2,5$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ и подставляем в уравнение:$\log_2 x + \frac{1}{\log_2 x} = 2,5$.

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Так как $x \neq 1$, то $t \neq 0$.$t + \frac{1}{t} = 2,5$.$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.Умножим обе части уравнения на $2t$:$2t^2 + 2 = 5t$.$2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$.Корни:$t_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.$t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 2$, то $\log_2 x = 2$, откуда $x = 2^2 = 4$.2. Если $t_2 = \frac{1}{2}$, то $\log_2 x = \frac{1}{2}$, откуда $x = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Оба корня $x=4$ и $x=\sqrt{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $4; \sqrt{2}$.

3) $\log_3 x + 2 \log_x 3 = 3$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$:$\log_3 x + 2 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 3$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$ ($t \neq 0$):$t + \frac{2}{t} = 3$.Умножим на $t$:$t^2 + 2 = 3t$.$t^2 - 3t + 2 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $3$, произведение равно $2$. Корни:$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 1$, то $\log_3 x = 1$, откуда $x = 3^1 = 3$.2. Если $t_2 = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

Оба корня $x=3$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $3; 9$.

4) $\log_3 x - 6 \log_x 3 = 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.Используем свойство $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$:$\log_3 x - 6 \cdot \frac{1}{\log_3 x} = 1$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$ ($t \neq 0$):$t - \frac{6}{t} = 1$.Умножим на $t$:$t^2 - 6 = t$.$t^2 - t - 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, произведение равно $-6$. Корни:$t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Возвращаемся к замене:1. Если $t_1 = 3$, то $\log_3 x = 3$, откуда $x = 3^3 = 27$.2. Если $t_2 = -2$, то $\log_3 x = -2$, откуда $x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня $x=27$ и $x=1/9$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $27; \frac{1}{9}$.