Номер 858, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

858. $\log_2 (2^x + 1) \log_2 (2^{x+1} + 2) = 2$.

Дано логарифмическое уравнение:

$\log_{2}(2^x + 1) \log_{2}(2^{x+1} + 2) = 2$

Сначала определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго больше нуля:

1) $2^x + 1 > 0$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$ для любого действительного $x$), то и сумма $2^x + 1$ всегда будет больше 1. Это неравенство выполняется для всех $x \in R$.

2) $2^{x+1} + 2 > 0$. Аналогично, $2^{x+1} > 0$ для любого $x$, поэтому $2^{x+1} + 2$ всегда больше 2. Это неравенство также выполняется для всех $x \in R$.

Таким образом, ОДЗ уравнения — все действительные числа.

Теперь преобразуем второй логарифм в уравнении. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и свойство логарифма произведения $\log_b(cd) = \log_b(c) + \log_b(d)$:

$\log_{2}(2^{x+1} + 2) = \log_{2}(2^x \cdot 2^1 + 2) = \log_{2}(2 \cdot 2^x + 2)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки под знаком логарифма:

$\log_{2}(2(2^x + 1)) = \log_{2}(2) + \log_{2}(2^x + 1)$

Так как $\log_{2}(2) = 1$, получаем:

$\log_{2}(2^{x+1} + 2) = 1 + \log_{2}(2^x + 1)$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_{2}(2^x + 1) \cdot (1 + \log_{2}(2^x + 1)) = 2$

Для удобства введем замену переменной. Пусть $t = \log_{2}(2^x + 1)$. Тогда уравнение примет вид:

$t(1 + t) = 2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t + t^2 = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$.

1. Случай $t=1$:

$\log_{2}(2^x + 1) = 1$

По определению логарифма, это эквивалентно уравнению:

$2^x + 1 = 2^1$

$2^x + 1 = 2$

$2^x = 1$

Представим 1 как степень двойки:

$2^x = 2^0$

$x = 0$

2. Случай $t=-2$:

$\log_{2}(2^x + 1) = -2$

По определению логарифма:

$2^x + 1 = 2^{-2}$

$2^x + 1 = \frac{1}{4}$

$2^x = \frac{1}{4} - 1$

$2^x = -\frac{3}{4}$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения.

Следовательно, единственным решением исходного уравнения является $x=0$.

Ответ: $0$