Номер 859, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

859. $\sqrt{3 + \log_x 5\sqrt{5} \cdot \log_{\sqrt{5}} x} = -\sqrt{6}$.

Решим уравнение $ \sqrt{3 + \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x}} = -\sqrt{6} $.

Сразу обратим внимание на левую и правую части уравнения. По определению, арифметический квадратный корень (обозначаемый знаком $ \sqrt{\phantom{a}} $) из любого неотрицательного числа есть число неотрицательное. Это означает, что левая часть уравнения, $ \sqrt{3 + \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x}} $, должна быть больше или равна нулю.

Правая часть уравнения равна $ -\sqrt{6} $. Так как $ \sqrt{6} > 0 $, то $ -\sqrt{6} < 0 $, то есть правая часть является отрицательным числом.

Таким образом, мы получаем равенство вида:$ [неотрицательное \ число] = [отрицательное \ число] $Такое равенство невозможно в области действительных чисел. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Чтобы убедиться в этом окончательно, можно упростить выражение под корнем. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $x \neq 1$.Рассмотрим произведение логарифмов: $ \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x} $.Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_b{a} = \frac{\log_c{a}}{\log_c{b}} $. Перейдем к основанию 5:$ \log_x{5\sqrt{5}} \cdot \log_{\sqrt{5}}{x} = \frac{\log_5{(5\sqrt{5})}}{\log_5{x}} \cdot \frac{\log_5{x}}{\log_5{(\sqrt{5})}} $

Так как по ОДЗ $ x \neq 1 $, то $ \log_5{x} \neq 0 $, и мы можем сократить этот множитель в числителе и знаменателе:$ \frac{\log_5{(5\sqrt{5})}}{\log_5{(\sqrt{5})}} $

Вычислим оставшиеся логарифмы, представив их аргументы в виде степени 5:$ 5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{1/2} = 5^{3/2} \implies \log_5{(5^{3/2})} = \frac{3}{2} $$ \sqrt{5} = 5^{1/2} \implies \log_5{(5^{1/2})} = \frac{1}{2} $

Тогда произведение логарифмов равно:$ \frac{3/2}{1/2} = 3 $

Подставим это значение в исходное уравнение:$ \sqrt{3 + 3} = -\sqrt{6} $$ \sqrt{6} = -\sqrt{6} $

Мы получили неверное числовое равенство. Это подтверждает, что исходное уравнение не имеет решений ни при каких допустимых значениях $ x $.

Ответ: решений нет.