Номер 856, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

856. $1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \frac{1}{4} \log_{\sqrt{6}} (x-1)^2$

Исходное уравнение:

$$ 1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \frac{1}{4} \log_{\sqrt{6}} (x-1)^2 $$

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными, а основания должны быть положительными и не равными единице.

1. Для логарифма $\log_6 \frac{x+3}{x+7}$ аргумент должен быть больше нуля: $\frac{x+3}{x+7} > 0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -3$ и $x = -7$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак. Это выполняется при $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, +\infty)$.

2. Для логарифма $\log_{\sqrt{6}} (x-1)^2$ аргумент должен быть больше нуля: $(x-1)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x-1=0$, то есть $x \neq 1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Преобразование уравнения

Приведем логарифмы в обеих частях уравнения к одному основанию 6.

Сначала преобразуем правую часть. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ и свойство логарифма $\log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a$. Основание $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.

$\log_{\sqrt{6}} (x-1)^2 = \log_{6^{1/2}} (x-1)^2 = \frac{1}{1/2} \log_6 (x-1)^2 = 2 \log_6 (x-1)^2$.

Тогда вся правая часть равна:

$\frac{1}{4} \cdot \left(2 \log_6 (x-1)^2\right) = \frac{1}{2} \log_6 (x-1)^2$.

Используя свойство $n \log_b a = \log_b a^n$ и тождество $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем:

$\frac{1}{2} \log_6 (x-1)^2 = \log_6 \left((x-1)^2\right)^{1/2} = \log_6 |x-1|$.

Теперь преобразуем левую часть. Представим 1 как логарифм по основанию 6: $1 = \log_6 6$.

$1 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \log_6 6 + \log_6 \frac{x+3}{x+7}$.

Используя свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$:

$\log_6 6 + \log_6 \frac{x+3}{x+7} = \log_6 \left(6 \cdot \frac{x+3}{x+7}\right) = \log_6 \frac{6(x+3)}{x+7}$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$$ \log_6 \frac{6(x+3)}{x+7} = \log_6 |x-1| $$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$$ \frac{6(x+3)}{x+7} = |x-1| $$

3. Решение уравнения

Полученное уравнение с модулем необходимо решить, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x-1 > 0$, то есть $x > 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:

$\frac{6(x+3)}{x+7} = x-1$

Умножим обе части на $(x+7)$, так как в рассматриваемом случае $x > 1$, то $x+7 \neq 0$:

$6(x+3) = (x-1)(x+7)$

$6x + 18 = x^2 + 7x - x - 7$

$6x + 18 = x^2 + 6x - 7$

$x^2 = 25$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Проверяем соответствие условию $x > 1$. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет этому условию. Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет. Проверяем корень $x=5$ по ОДЗ: $5 \in (1, +\infty)$, что является верным. Следовательно, $x=5$ — корень уравнения.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{6(x+3)}{x+7} = 1-x$

Умножим обе части на $(x+7)$, так как $x=-7$ не является решением этого уравнения (знаменатель обращается в ноль):

$6(x+3) = (1-x)(x+7)$

$6x + 18 = x + 7 - x^2 - 7x$

$6x + 18 = -x^2 - 6x + 7$

$x^2 + 12x + 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -12, а их произведение равно 11. Корни:

$x_3 = -1$ и $x_4 = -11$.

Оба корня удовлетворяют условию $x < 1$. Проверим их по ОДЗ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-3, 1) \cup (1, +\infty)$.

• Корень $x_3 = -1$ попадает в интервал $(-3, 1)$, следовательно, удовлетворяет ОДЗ.
• Корень $x_4 = -11$ попадает в интервал $(-\infty, -7)$, следовательно, также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, $x=-1$ и $x=-11$ являются решениями уравнения.

Объединив результаты обоих случаев, мы получили три решения.

Ответ: $-11; -1; 5$.