Номер 863, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

863. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{\lg x}{\lg (x - a - a^2)} = 2$ имеет хотя бы один корень? Найти все корни этого уравнения.

Исходное уравнение: $\frac{\lg x}{\lg(x - a - a^2)} = 2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а знаменатель дроби не должен равняться нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - a - a^2 > 0 \\ \lg(x - a - a^2) \neq 0 \end{cases}$

Преобразуем систему:

$\begin{cases} x > 0 \\ x > a + a^2 \\ x - a - a^2 \neq 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \max(0, a + a^2) \\ x \neq 1 + a + a^2 \end{cases}$

Теперь решим само уравнение. При условии, что $x$ принадлежит ОДЗ, уравнение равносильно следующему:

$\lg x = 2\lg(x - a - a^2)$

Используя свойство логарифма $n\log_b m = \log_b (m^n)$, получаем:

$\lg x = \lg((x - a - a^2)^2)$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:

$x = (x - a - a^2)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x = x^2 - 2x(a+a^2) + (a+a^2)^2$

$x^2 - (2(a+a^2) + 1)x + (a+a^2)^2 = 0$

$x^2 - (2a^2 + 2a + 1)x + (a^2+a)^2 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = (2a^2 + 2a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2+a)^2$

Пусть $y = a^2+a$. Тогда $D = (2y+1)^2 - 4y^2 = 4y^2+4y+1 - 4y^2 = 4y+1$.

Подставим обратно выражение для $y$:

$D = 4(a^2+a)+1 = 4a^2+4a+1 = (2a+1)^2$

Поскольку $D = (2a+1)^2 \ge 0$ для любых действительных $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни по формуле:

$x = \frac{(2a^2 + 2a + 1) \pm \sqrt{(2a+1)^2}}{2} = \frac{2a^2 + 2a + 1 \pm (2a+1)}{2}$

Получаем два потенциальных корня:

$x_1 = \frac{2a^2 + 2a + 1 + (2a+1)}{2} = \frac{2a^2+4a+2}{2} = a^2+2a+1 = (a+1)^2$

$x_2 = \frac{2a^2 + 2a + 1 - (2a+1)}{2} = \frac{2a^2}{2} = a^2$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ эти корни удовлетворяют ОДЗ: $x > \max(0, a + a^2)$ и $x \neq 1 + a + a^2$.

Проверка корня $x_1 = (a+1)^2$

1. Проверим условие $x_1 \neq 1 + a + a^2$:

$(a+1)^2 \neq 1 + a + a^2 \implies a^2+2a+1 \neq 1+a+a^2 \implies 2a \neq a \implies a \neq 0$.

2. Проверим условие $x_1 > \max(0, a + a^2)$:

Это равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} (a+1)^2 > 0 \\ (a+1)^2 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq -1 \\ a^2+2a+1 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq -1 \\ a > -1 \end{cases}$

Объединяя условия для $x_1$, получаем, что $a \neq 0$ и $a > -1$.

Следовательно, $x_1 = (a+1)^2$ является корнем уравнения при $a \in (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Проверка корня $x_2 = a^2$

1. Проверим условие $x_2 \neq 1 + a + a^2$:

$a^2 \neq 1 + a + a^2 \implies 0 \neq 1+a \implies a \neq -1$.

2. Проверим условие $x_2 > \max(0, a + a^2)$:

Это равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} a^2 > 0 \\ a^2 > a+a^2 \end{cases} \implies \begin{cases} a \neq 0 \\ 0 > a \end{cases} \implies a < 0$.

Объединяя условия для $x_2$, получаем, что $a \neq -1$ и $a < 0$.

Следовательно, $x_2 = a^2$ является корнем уравнения при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0)$.

Итоги

1. При каких значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень?
Уравнение имеет хотя бы один корень, если $a$ принадлежит объединению множеств, на которых существуют корни $x_1$ и $x_2$:

$( (-1, 0) \cup (0, \infty) ) \cup ( (-\infty, -1) \cup (-1, 0) ) = (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Таким образом, уравнение имеет хотя бы один корень при всех действительных значениях $a$, кроме $a=-1$ и $a=0$.

2. Найти все корни этого уравнения.
Рассмотрим различные интервалы для $a$:

• При $a \in (-\infty, -1)$: существует только корень $x_2 = a^2$.
• При $a = -1$: корней нет.
• При $a \in (-1, 0)$: существуют оба корня, $x_1 = (a+1)^2$ и $x_2 = a^2$. Они различны, так как $x_1 = x_2$ только при $a = -1/2$.
• При $a = -1/2$: корни совпадают, $x_1=x_2=1/4$. Один корень.
• При $a = 0$: корней нет.
• При $a \in (0, \infty)$: существует только корень $x_1 = (a+1)^2$.

Ответ: Уравнение имеет хотя бы один корень при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.
Корни уравнения в зависимости от параметра $a$ следующие:

• если $a \in (-\infty, -1)$, то один корень $x = a^2$;
• если $a \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0)$, то два корня $x_1 = (a+1)^2$ и $x_2 = a^2$;
• если $a = -1/2$, то один корень $x = 1/4$;
• если $a \in (0, \infty)$, то один корень $x = (a+1)^2$;
• если $a = -1$ или $a = 0$, то корней нет.