Номер 846, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (846–848).

846. 1) $ \log_5 x^2 = 0 $; 2) $ \log_4 x^2 = 3 $; 3) $ \log_3 x^3 = 0 $; 4) $ \log_4 x^3 = 6 $;

5) $ \lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3 $; 6) $ \lg x + \lg x^2 = \lg (9x) $.

1) Исходное уравнение: $ \log_5 x^2 = 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x^2 > 0 $, что эквивалентно $ x \ne 0 $.
По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff a = b^c $), уравнение можно переписать в виде: $ x^2 = 5^0 $.
Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1, получаем: $ x^2 = 1 $.
Решениями этого квадратного уравнения являются $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x \ne 0 $).
Ответ: $ x = \pm 1 $.

2) Исходное уравнение: $ \log_4 x^2 = 3 $.
ОДЗ: $ x^2 > 0 $, то есть $ x \ne 0 $.
По определению логарифма, имеем: $ x^2 = 4^3 $.
Вычисляем правую часть: $ 4^3 = 64 $.
Уравнение принимает вид: $ x^2 = 64 $.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два решения: $ x_1 = 8 $ и $ x_2 = -8 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $ x = \pm 8 $.

3) Исходное уравнение: $ \log_3 x^3 = 0 $.
ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, $ x^3 > 0 $. Это неравенство выполняется, когда $ x > 0 $.
По определению логарифма: $ x^3 = 3^0 $.
$ x^3 = 1 $.
Единственное действительное решение этого уравнения — $ x = 1 $.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x = 1 $.

4) Исходное уравнение: $ \log_4 x^3 = 6 $.
ОДЗ: $ x^3 > 0 $, что означает $ x > 0 $.
По определению логарифма: $ x^3 = 4^6 $.
Чтобы найти $x$, представим правую часть как степень с показателем 3: $ 4^6 = (4^2)^3 = 16^3 $.
Уравнение принимает вид: $ x^3 = 16^3 $.
Отсюда следует, что $ x = 16 $.
Корень $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).
Ответ: $ x = 16 $.

5) Исходное уравнение: $ \lg x^4 + \lg (4x) = 2 + \lg x^3 $.
ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $ x^4 > 0 \implies x \ne 0 $.
2) $ 4x > 0 \implies x > 0 $.
3) $ x^3 > 0 \implies x > 0 $.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x > 0 $.
Перенесем все слагаемые с логарифмами в левую часть уравнения: $ \lg x^4 + \lg (4x) - \lg x^3 = 2 $.
Используем свойства логарифмов ($ \log a + \log b = \log(ab) $ и $ \log a - \log b = \log(a/b) $): $ \lg \frac{x^4 \cdot 4x}{x^3} = 2 $.
Упростим выражение под знаком логарифма: $ \frac{4x^5}{x^3} = 4x^2 $.
Получаем уравнение: $ \lg (4x^2) = 2 $.
По определению десятичного логарифма ($ \lg a = c \iff a = 10^c $): $ 4x^2 = 10^2 $.
$ 4x^2 = 100 $.
$ x^2 = 25 $.
Возможные решения: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -5 $.
Проверяем по ОДЗ ($ x > 0 $). Корень $ x = 5 $ удовлетворяет условию, а $ x = -5 $ — нет, поэтому является посторонним.
Ответ: $ x = 5 $.

6) Исходное уравнение: $ \lg x + \lg x^2 = \lg (9x) $.
ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительны.
1) $ x > 0 $.
2) $ x^2 > 0 \implies x \ne 0 $.
3) $ 9x > 0 \implies x > 0 $.
Общее ОДЗ: $ x > 0 $.
Используем свойство суммы логарифмов в левой части: $ \lg(x \cdot x^2) = \lg(x^3) $.
Уравнение принимает вид: $ \lg(x^3) = \lg(9x) $.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $ x^3 = 9x $.
Перенесем все члены в левую часть и решим уравнение: $ x^3 - 9x = 0 $.
Выносим $x$ за скобки: $ x(x^2 - 9) = 0 $.
Разложим на множители: $ x(x-3)(x+3) = 0 $.
Получаем три возможных корня: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = 3 $, $ x_3 = -3 $.
Проверяем корни по ОДЗ ($ x > 0 $).
$ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x = -3 $ не удовлетворяет ОДЗ.
$ x = 3 $ удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $ x = 3 $.