Номер 842, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

842. 1) $\frac{1}{2} \lg (x^2 + x - 5) = \lg (5x) + \lg \frac{1}{5x}$;

2) $\frac{1}{2} \lg (x^2 - 4x - 1) = \lg (8x) - \lg (4x).$

1) $\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = \lg(5x) + \lg(\frac{1}{5x})$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы всех логарифмов в уравнении должны быть строго больше нуля:
1. $x^2 + x - 5 > 0$
2. $5x > 0 \implies x > 0$
3. $\frac{1}{5x} > 0 \implies x > 0$

Для решения неравенства $x^2 + x - 5 > 0$, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 5 = 0$:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}$.
Поскольку парабола $y = x^2 + x - 5$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $x^2 + x - 5 > 0$ выполняется при $x < \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}$ или $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.
Объединяя это с условием $x > 0$, получаем ОДЗ: $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.

Теперь упростим правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов $\lg(a) + \lg(b) = \lg(ab)$:
$\lg(5x) + \lg(\frac{1}{5x}) = \lg(5x \cdot \frac{1}{5x}) = \lg(1)$.
Поскольку $\lg(1) = 0$, уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 + x - 5) = 0$.

Умножим обе части уравнения на 2:
$\lg(x^2 + x - 5) = 0$.
По определению десятичного логарифма ($ \lg a = b \iff a = 10^b $), получаем:
$x^2 + x - 5 = 10^0$
$x^2 + x - 5 = 1$
$x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Отсюда находим корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ: $x > \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}$.
Приближенное значение $\sqrt{21}$ находится между 4 и 5 ($\sqrt{16} < \sqrt{21} < \sqrt{25}$), поэтому $\frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \approx \frac{-1 + 4.58}{2} \approx 1.79$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1.79$, значит, он является решением.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.
Таким образом, у уравнения есть только один корень.
Ответ: 2.

2) $\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(8x) - \lg(4x)$

Находим область допустимых значений (ОДЗ):
1. $x^2 - 4x - 1 > 0$
2. $8x > 0 \implies x > 0$
3. $4x > 0 \implies x > 0$

Решим неравенство $x^2 - 4x - 1 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.
Неравенство $x^2 - 4x - 1 > 0$ выполняется при $x < 2 - \sqrt{5}$ или $x > 2 + \sqrt{5}$.
Так как $2 - \sqrt{5} < 0$, а по другим условиям $x > 0$, итоговая ОДЗ: $x > 2 + \sqrt{5}$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $\lg(a) - \lg(b) = \lg(\frac{a}{b})$:
$\lg(8x) - \lg(4x) = \lg(\frac{8x}{4x}) = \lg(2)$.
Уравнение приобретает вид:
$\frac{1}{2} \lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2)$.

Умножим обе части на 2:
$\lg(x^2 - 4x - 1) = 2\lg(2)$.
Применим свойство степени логарифма $c \lg(a) = \lg(a^c)$:
$\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(2^2)$
$\lg(x^2 - 4x - 1) = \lg(4)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 - 4x - 1 = 4$
$x^2 - 4x - 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни:
$x_1 = 5$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 2 + \sqrt{5}$).
Приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.24$, тогда $2 + \sqrt{5} \approx 4.24$.
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4.24$, следовательно, это верное решение.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$.
Ответ: 5.