Страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Решить уравнение:

1) $5^{|x-1|} = 0,2^{|x+3|}$.

2) $3^{x^2} \cdot 5^{x^2} = 225^x$.

3) $4^{x-4} = 6^{4-x}$.

4) $3^{3x+1} - 10 \cdot 9^{x+1} + 9^{x+2} = 0$.

1) $5^{|x-1|} = 0,2^{|x+3|}$

Первым шагом преобразуем десятичную дробь $0,2$ в обыкновенную и представим ее в виде степени с основанием 5:
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим это значение в исходное уравнение:
$5^{|x-1|} = (5^{-1})^{|x+3|}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть уравнения:
$5^{|x-1|} = 5^{-|x+3|}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$|x-1| = -|x+3|$.

Перенесем все члены в левую часть:
$|x-1| + |x+3| = 0$.

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|x-1| \ge 0$ и $|x+3| \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны нулю. Следовательно, мы получаем систему уравнений: $$ \begin{cases} |x-1| = 0 \\ |x+3| = 0 \end{cases} $$

Решаем каждое уравнение:
Из первого уравнения: $x-1 = 0 \implies x = 1$.
Из второго уравнения: $x+3 = 0 \implies x = -3$.

Поскольку переменная $x$ не может одновременно принимать два разных значения ($1$ и $-3$), данная система не имеет решений. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) $3^{x^2} \cdot 5^{x^2} = 225^x$

В левой части уравнения воспользуемся свойством степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$:
$(3 \cdot 5)^{x^2} = 225^x$
$15^{x^2} = 225^x$.

Представим число $225$ в виде степени с основанием $15$: $225 = 15^2$. Подставим это в правую часть уравнения:
$15^{x^2} = (15^2)^x$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$15^{x^2} = 15^{2x}$.

Поскольку основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x^2 = 2x$.

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$ или $x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$.

Ответ: $0; 2$.

3) $4^{x-4} = 64^{4-x}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $64 = 4^3$.
Подставим это в уравнение:
$4^{x-4} = (4^3)^{4-x}$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части:
$4^{x-4} = 4^{3(4-x)}$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x - 4 = 3(4 - x)$.

Решим полученное линейное уравнение. Раскроем скобки в правой части:
$x - 4 = 12 - 3x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$x + 3x = 12 + 4$
$4x = 16$.

Найдем $x$:
$x = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: $4$.

4) $3^{3x+1} - 10 \cdot 9^{x+1} + 9^{x+2} = 0$

Приведем все степени к одному основанию $3$, так как $9 = 3^2$:
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$
$9^{x+2} = (3^2)^{x+2} = 3^{2(x+2)} = 3^{2x+4}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3^{3x+1} - 10 \cdot 3^{2x+2} + 3^{2x+4} = 0$.

Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы вынести числовые множители:
$3^{3x} \cdot 3^1 - 10 \cdot (3^{2x} \cdot 3^2) + (3^{2x} \cdot 3^4) = 0$
$3 \cdot 3^{3x} - 10 \cdot 9 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 0$
$3 \cdot 3^{3x} - 90 \cdot 3^{2x} + 81 \cdot 3^{2x} = 0$.

Приведем подобные слагаемые:
$3 \cdot 3^{3x} - 9 \cdot 3^{2x} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$ и $3^{3x} = (3^x)^3 = y^3$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$3y^3 - 9y^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $3y^2$ за скобки:
$3y^2(y - 3) = 0$.

Это уравнение имеет два решения для $y$:
$3y^2 = 0 \implies y = 0$
$y - 3 = 0 \implies y = 3$.

Выполним обратную замену:
1. $y = 0 \implies 3^x = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
2. $y = 3 \implies 3^x = 3$. Так как $3=3^1$, то $x=1$.

Единственным решением уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

4. Решить неравенство $0.8^{\sqrt{4x-3}} > 0.8^x$.

Дано показательное неравенство $0.8^{\sqrt{4x-3}} > 0.8^x$.

Основание степени $a = 0.8$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что для выполнения неравенства $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ необходимо, чтобы показатель степени $f(x)$ был меньше показателя степени $g(x)$. Таким образом, мы переходим к следующему неравенству, меняя знак на противоположный:

$\sqrt{4x-3} < x$

При решении этого иррационального неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$4x-3 \ge 0 \implies 4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Применим эту систему к нашему неравенству:

$\begin{cases} 4x-3 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4x-3 < x^2 \end{cases}$

1. Из первого неравенства, как мы уже нашли, следует $x \ge \frac{3}{4}$.

2. Второе неравенство $x > 0$.

Пересечение этих двух условий ($x \ge \frac{3}{4}$ и $x>0$) дает $x \ge \frac{3}{4}$.

3. Решим третье неравенство:

$4x-3 < x^2$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$ есть объединение интервалов:

$x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$

Теперь найдем общее решение, которое удовлетворяет всем условиям. Для этого найдем пересечение множеств $x \ge \frac{3}{4}$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Это пересечение можно представить как:

$([\frac{3}{4}, \infty) \cap (-\infty, 1)) \cup ([\frac{3}{4}, \infty) \cap (3, \infty))$

$[\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение этих промежутков.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$.

5. Решить систему

$$\begin{cases} 5^x \cdot 2^y = 20, \\\\ 5^y \cdot 2^x = 50, \\\\ 10^{x-y} < 2. \end{cases}$$

Для решения данной системы сначала рассмотрим два уравнения:

$ \begin{cases} 5^x \cdot 2^y = 20, \\ 5^y \cdot 2^x = 50. \end{cases}$

Перемножим первое и второе уравнения системы. Это позволит нам сгруппировать степени с одинаковыми основаниями.

$(5^x \cdot 2^y) \cdot (5^y \cdot 2^x) = 20 \cdot 50$

$5^x \cdot 5^y \cdot 2^x \cdot 2^y = 1000$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$5^{x+y} \cdot 2^{x+y} = 1000$

Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получим:

$(5 \cdot 2)^{x+y} = 1000$

$10^{x+y} = 10^3$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x + y = 3$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{5^x \cdot 2^y}{5^y \cdot 2^x} = \frac{20}{50}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

$5^{x-y} \cdot 2^{y-x} = \frac{2}{5}$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$, поэтому $2^{y-x} = 2^{-(x-y)} = (\frac{1}{2})^{x-y}$. Уравнение примет вид:

$5^{x-y} \cdot (\frac{1}{2})^{x-y} = \frac{2}{5}$

$(\frac{5}{2})^{x-y} = \frac{2}{5}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{2}$: $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

$(\frac{5}{2})^{x-y} = (\frac{5}{2})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, получаем второе линейное уравнение:

$x - y = -1$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение ($x+y=3$):

$1 + y = 3$

$y = 2$

Таким образом, решением системы уравнений является пара чисел $(1, 2)$.

Осталось проверить, удовлетворяет ли это решение третьему условию системы — неравенству $10^{x-y} < 2$.

Подставим $x=1$ и $y=2$ в неравенство:

$10^{1-2} < 2$

$10^{-1} < 2$

$\frac{1}{10} < 2$

$0.1 < 2$

Данное неравенство является верным. Следовательно, найденная пара чисел является решением исходной системы.

Ответ: $(1, 2)$