Страница 235 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (717–721).

$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ 5^{x+y} = 25; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение системы. Так как $25 = 5^2$, мы можем записать: $5^{x+y} = 5^2$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x + y = 2$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 2; \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы исключить $y$: $(2x - y) + (x + y) = 1 + 2$
$3x = 3$
$x = 1$
Подставим значение $x = 1$ в уравнение $x + y = 2$: $1 + y = 2$
$y = 1$
Проверим решение $(1; 1)$ в исходной системе: $2(1) - 1 = 1$
$5^{1+1} = 5^2 = 25$
Решение верно.
Ответ: $(1; 1)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 2, \\ 3^{x^2+y} = \frac{1}{9}; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, мы можем записать: $3^{x^2+y} = 3^{-2}$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x^2 + y = -2$
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2 + y = -2; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x - 2$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение: $x^2 + (x - 2) = -2$
$x^2 + x - 2 = -2$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 0$, то $y_1 = x_1 - 2 = 0 - 2 = -2$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = x_2 - 2 = -1 - 2 = -3$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(0; -2)$, $(-1; -3)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ 2^{x-y} = 8; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $8 = 2^3$, мы можем записать: $2^{x-y} = 2^3$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x - y = 3$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x + y) + (x - y) = 1 + 3$
$2x = 4$
$x = 2$
Подставим значение $x = 2$ в уравнение $x + y = 1$: $2 + y = 1$
$y = 1 - 2 = -1$
Проверим решение $(2; -1)$ в исходной системе: $2 + (-1) = 1$
$2^{2 - (-1)} = 2^{3} = 8$
Решение верно.
Ответ: $(2; -1)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ 3^{x-y} = 81; \end{cases} $
Преобразуем второе уравнение. Так как $81 = 3^4$, мы можем записать: $3^{x-y} = 3^4$
Приравнивая показатели степени, получаем: $x - y = 4$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - y = 4; \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого: $(x + 2y) - (x - y) = 3 - 4$
$x + 2y - x + y = -1$
$3y = -1$
$y = -\frac{1}{3}$
Подставим значение $y = -\frac{1}{3}$ в уравнение $x - y = 4$: $x - (-\frac{1}{3}) = 4$
$x + \frac{1}{3} = 4$
$x = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} = \frac{11}{3}$
Проверим решение $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$ в исходной системе: $\frac{11}{3} + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{11}{3} - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3$
$3^{\frac{11}{3} - (-\frac{1}{3})} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4 = 81$
Решение верно.
Ответ: $(\frac{11}{3}; -\frac{1}{3})$.

718. 1) $ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32, \\ 3^{8x+1} = 3^{3y}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^{3x-2y} = 81, \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 4^x \cdot 2^y = 32 \\ 3^{8x+1} = 3^{3y} \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, приведя все его части к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $32 = 2^5$.

Подставим эти выражения в первое уравнение:

$(2^2)^x \cdot 2^y = 2^5$

$2^{2x} \cdot 2^y = 2^5$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{2x+y} = 2^5$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x + y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$3^{8x+1} = 3^{3y}$

Здесь основания степеней уже равны, поэтому приравниваем показатели:

$8x + 1 = 3y$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 8x + 1 = 3y \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 5 - 2x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$8x + 1 = 3(5 - 2x)$

$8x + 1 = 15 - 6x$

$8x + 6x = 15 - 1$

$14x = 14$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3$

Решением системы является пара чисел $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3^{3x-2y} = 81 \\ 3^{6x} \cdot 3^y = 27 \end{cases} $$

Преобразуем оба уравнения, приведя все их части к основанию 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.

Для первого уравнения получаем:

$3^{3x-2y} = 3^4$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3x - 2y = 4$

Для второго уравнения, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{6x+y} = 3^3$

Приравниваем показатели:

$6x + y = 3$

Мы получили систему двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 6x + y = 3 \end{cases} $$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 3 - 6x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x - 2(3 - 6x) = 4$

$3x - 6 + 12x = 4$

$15x = 10$

$x = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 6 \cdot (\frac{2}{3}) = 3 - \frac{12}{3} = 3 - 4 = -1$

Решением системы является пара чисел $(\frac{2}{3}; -1)$.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -1)$.

719. 1) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 6, \\ 2^x - 2^y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x + 5^y = 8, \\ 3^x - 5^y = -2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^x + 2^y = 6 \\ 2^x - 2^y = 2 \end{cases} $

Для решения данной системы введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 2^y$. Так как показательная функция ($y=c^t, c>0, c\neq1$) принимает только положительные значения, то $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 6 \\ a - b = 2 \end{cases} $

Это простая система линейных уравнений. Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $a$:

$(a + b) + (a - b) = 6 + 2$

$2a = 8$

$a = 4$

Подставим найденное значение $a=4$ в первое уравнение ($a+b=6$), чтобы найти $b$:

$4 + b = 6$

$b = 6 - 4$

$b = 2$

Теперь, когда мы нашли значения $a$ и $b$, выполним обратную замену для нахождения $x$ и $y$.

Из $a = 2^x$ и $a=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Из $b = 2^y$ и $b=2$:

$2^y = 2$

$2^y = 2^1$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — $(2; 1)$. Выполним проверку:

$ \begin{cases} 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6 \\ 2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Ответ: $(2; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^x + 5^y = 8 \\ 3^x - 5^y = -2 \end{cases} $

Решим систему методом введения новых переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 5^y$. Так как $a$ и $b$ являются значениями показательных функций, они должны быть положительными: $a > 0$, $b > 0$.

Система в новых переменных:

$ \begin{cases} a + b = 8 \\ a - b = -2 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы для нахождения $a$:

$(a + b) + (a - b) = 8 + (-2)$

$2a = 6$

$a = 3$

Подставим $a=3$ в первое уравнение ($a+b=8$), чтобы найти $b$:

$3 + b = 8$

$b = 8 - 3$

$b = 5$

Теперь выполним обратную замену.

Из $a = 3^x$ и $a=3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Из $b = 5^y$ и $b=5$:

$5^y = 5$

$5^y = 5^1$

$y = 1$

Решение системы — $(1; 1)$. Проверка:

$ \begin{cases} 3^1 + 5^1 = 3 + 5 = 8 \\ 3^1 - 5^1 = 3 - 5 = -2 \end{cases} $

Оба равенства верны.

Ответ: $(1; 1)$.

720. 1) $\begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1. \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^{x-1} + 5^{y-1} = 30; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $ \frac{5^x}{5} + \frac{5^y}{5} = 30 $. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от знаменателя: $ 5^x + 5^y = 150 $.

Теперь мы имеем новую, более простую систему: $ \begin{cases} 5^x - 5^y = 100, \\ 5^x + 5^y = 150; \end{cases} $

Введем новые переменные для упрощения. Пусть $a = 5^x$ и $b = 5^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$. Система в новых переменных: $ \begin{cases} a - b = 100, \\ a + b = 150; \end{cases} $

Сложим два уравнения этой линейной системы: $ (a - b) + (a + b) = 100 + 150 $ $ 2a = 250 $ $ a = 125 $.

Подставим найденное значение $a$ во второе уравнение системы: $ 125 + b = 150 $ $ b = 150 - 125 $ $ b = 25 $.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$: $ a = 5^x \Rightarrow 125 = 5^x \Rightarrow 5^3 = 5^x \Rightarrow x = 3 $. $ b = 5^y \Rightarrow 25 = 5^y \Rightarrow 5^2 = 5^y \Rightarrow y = 2 $.

Ответ: $(3; 2)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2^x - 9 \cdot 3^y = 7, \\ 2^x \cdot 3^y = \frac{8}{9}; \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = 2^x$ и $b = 3^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} a - 9b = 7, \\ a \cdot b = \frac{8}{9}; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$ через $b$: $ a = 7 + 9b $. Подставим это выражение во второе уравнение: $ (7 + 9b) \cdot b = \frac{8}{9} $ $ 7b + 9b^2 = \frac{8}{9} $.

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби, и приведем к стандартному квадратному виду: $ 63b + 81b^2 = 8 $ $ 81b^2 + 63b - 8 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение для $b$ с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$: $ D = 63^2 - 4 \cdot 81 \cdot (-8) = 3969 + 2592 = 6561 $. Корень из дискриминанта: $\sqrt{6561} = 81$.

Найдем корни уравнения: $ b_1 = \frac{-63 + 81}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9} $. $ b_2 = \frac{-63 - 81}{2 \cdot 81} = \frac{-144}{162} = -\frac{8}{9} $.

Так как $b = 3^y$, значение $b$ должно быть положительным. Следовательно, корень $b_2 = -8/9$ является посторонним. Используем $b = 1/9$.

Теперь найдем $a$: $ a = 7 + 9b = 7 + 9 \cdot \frac{1}{9} = 7 + 1 = 8 $.

Выполним обратную замену: $ a = 2^x \Rightarrow 8 = 2^x \Rightarrow 2^3 = 2^x \Rightarrow x = 3 $. $ b = 3^y \Rightarrow \frac{1}{9} = 3^y \Rightarrow 3^{-2} = 3^y \Rightarrow y = -2 $.

Ответ: $(3; -2)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 16^y - 16^x = 24, \\ 16^{x+y} = 256; \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение, используя свойства степеней и то, что $256 = 16^2$: $ 16^{x+y} = 16^2 $ $ x + y = 2 $. Также, по свойству степеней, $16^{x+y} = 16^x \cdot 16^y$. Таким образом, второе уравнение можно записать как $16^x \cdot 16^y = 256$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 16^x$ и $b = 16^y$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} b - a = 24, \\ a \cdot b = 256; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $ b = 24 + a $. Подставим это во второе уравнение: $ a \cdot (24 + a) = 256 $ $ 24a + a^2 = 256 $ $ a^2 + 24a - 256 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, ищем два числа, произведение которых равно -256, а сумма равна -24. Это числа 8 и -32. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 8$ и $a_2 = -32$.

Так как $a = 16^x$, значение $a$ должно быть положительным. Значит, корень $a_2 = -32$ не подходит. Используем $a = 8$.

Теперь найдем $b$: $ b = 24 + a = 24 + 8 = 32 $.

Выполним обратную замену. Заметим, что $16 = 2^4$: $ a = 16^x \Rightarrow 8 = 16^x \Rightarrow 2^3 = (2^4)^x \Rightarrow 2^3 = 2^{4x} \Rightarrow 3 = 4x \Rightarrow x = \frac{3}{4} $. $ b = 16^y \Rightarrow 32 = 16^y \Rightarrow 2^5 = (2^4)^y \Rightarrow 2^5 = 2^{4y} \Rightarrow 5 = 4y \Rightarrow y = \frac{5}{4} $.

Проверим, удовлетворяет ли решение условию $x+y=2$: $\frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Верно.

Ответ: $(\frac{3}{4}; \frac{5}{4})$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3^x + 2^{x+y+1} = 5, \\ 3^{x+1} - 2^{x+y} = 1; \end{cases} $

Преобразуем уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $ 3^x + 2 \cdot 2^{x+y} = 5 $ $ 3 \cdot 3^x - 2^{x+y} = 1 $

Введем новые переменные. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{x+y}$. Условия: $a > 0$, $b > 0$. Система в новых переменных: $ \begin{cases} a + 2b = 5, \\ 3a - b = 1; \end{cases} $

Решим эту линейную систему. Из второго уравнения выразим $b$: $ b = 3a - 1 $. Подставим это выражение в первое уравнение: $ a + 2(3a - 1) = 5 $ $ a + 6a - 2 = 5 $ $ 7a = 7 $ $ a = 1 $.

Теперь найдем $b$: $ b = 3a - 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 $.

Выполним обратную замену: $ a = 3^x \Rightarrow 1 = 3^x \Rightarrow 3^0 = 3^x \Rightarrow x = 0 $. $ b = 2^{x+y} \Rightarrow 2 = 2^{x+y} $. Подставим найденное значение $x=0$: $ 2 = 2^{0+y} \Rightarrow 2^1 = 2^y \Rightarrow y = 1 $.

Ответ: $(0; 1)$.

721. 1) $\begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75, \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4, \\ 3^y \cdot 2^x = 9. \end{cases}$

1)

Дана система показательных уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{x+1} \cdot 3^y = 75 \\ 3^x \cdot 5^{y-1} = 3 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем первое уравнение:

$5^{x+1} \cdot 3^y = 75$

$5^x \cdot 5^1 \cdot 3^y = 75$

$5 \cdot (5^x \cdot 3^y) = 75$

Разделим обе части на 5:

$5^x \cdot 3^y = 15$

Преобразуем второе уравнение:

$3^x \cdot 5^{y-1} = 3$

$3^x \cdot \frac{5^y}{5^1} = 3$

Умножим обе части на 5:

$3^x \cdot 5^y = 15$

В результате преобразований мы получили новую систему:

$$ \begin{cases} 5^x \cdot 3^y = 15 \\ 3^x \cdot 5^y = 15 \end{cases} $$

Поскольку правые части обоих уравнений равны 15, мы можем приравнять их левые части:

$5^x \cdot 3^y = 3^x \cdot 5^y$

Разделим обе части уравнения на $3^x \cdot 5^y$ (это возможно, так как $3^x > 0$ и $5^y > 0$ при любых действительных $x, y$):

$\frac{5^x}{3^x} = \frac{5^y}{3^y}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^y$

Так как основания степеней равны и не равны 1, показатели степеней также должны быть равны:

$x = y$

Теперь подставим $y=x$ в любое из упрощенных уравнений, например, в $5^x \cdot 3^y = 15$:

$5^x \cdot 3^x = 15$

$(5 \cdot 3)^x = 15$

$15^x = 15^1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Поскольку $x=y$, то и $y=1$.

Проверка: подставим $x=1$ и $y=1$ в исходную систему.

Первое уравнение: $5^{1+1} \cdot 3^1 = 5^2 \cdot 3 = 25 \cdot 3 = 75$. Верно.

Второе уравнение: $3^1 \cdot 5^{1-1} = 3 \cdot 5^0 = 3 \cdot 1 = 3$. Верно.

Ответ: $x=1, y=1$.

2)

Дана система показательных уравнений:

$$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 4 \\ 3^y \cdot 2^x = 9 \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод умножения и деления уравнений.

Сначала перемножим оба уравнения системы:

$(3^x \cdot 2^y) \cdot (3^y \cdot 2^x) = 4 \cdot 9$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$(3^x \cdot 3^y) \cdot (2^x \cdot 2^y) = 36$

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$3^{x+y} \cdot 2^{x+y} = 36$

Используя свойство $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$, получим:

$(3 \cdot 2)^{x+y} = 36$

$6^{x+y} = 6^2$

Отсюда получаем первое линейное уравнение относительно $x$ и $y$:

$x+y=2$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{3^x \cdot 2^y}{3^y \cdot 2^x} = \frac{4}{9}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\frac{3^x}{3^y} \cdot \frac{2^y}{2^x} = \frac{4}{9}$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получим:

$3^{x-y} \cdot 2^{y-x} = \frac{4}{9}$

Так как $y-x = -(x-y)$, то $2^{y-x} = 2^{-(x-y)} = \frac{1}{2^{x-y}}$. Уравнение примет вид:

$\frac{3^{x-y}}{2^{x-y}} = \frac{4}{9}$

$(\frac{3}{2})^{x-y} = (\frac{2}{3})^2$

Чтобы основания степеней были одинаковыми, представим $(\frac{2}{3})^2$ как $(\frac{3}{2})^{-2}$:

$(\frac{3}{2})^{x-y} = (\frac{3}{2})^{-2}$

Отсюда получаем второе линейное уравнение:

$x-y = -2$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 2 \\ x-y = -2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 2 + (-2)$

$2x = 0$

$x = 0$

Подставим значение $x=0$ в первое уравнение $x+y=2$:

$0+y=2$

$y=2$

Проверка: подставим $x=0$ и $y=2$ в исходную систему.

Первое уравнение: $3^0 \cdot 2^2 = 1 \cdot 4 = 4$. Верно.

Второе уравнение: $3^2 \cdot 2^0 = 9 \cdot 1 = 9$. Верно.

Ответ: $x=0, y=2$.

Решить систему (722—724).

722.

1) $ \begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}, \\ 3,7^{x^2} < 3,7^4. \end{cases} $

1)

Решим данную систему:

$ \begin{cases} 5^{2x+1} > 625, \\ 11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15} \end{cases} $

Сначала решим первое показательное неравенство. Представим число 625 в виде степени с основанием 5:

$625 = 5^4$.

Неравенство принимает вид:

$5^{2x+1} > 5^4$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x+1 > 4$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

Теперь решим второе показательное уравнение:

$11^{6x^2-10x} = 11^{9x-15}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$6x^2-10x = 9x-15$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2-10x-9x+15 = 0$

$6x^2-19x+15 = 0$.

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-19)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 15 = 361 - 360 = 1$.

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-(-19) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19+1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{-(-19) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{19-1}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Решением системы являются значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: являются корнями уравнения и удовлетворяют неравенству $x > \frac{3}{2}$.

Проверим корень $x_1 = \frac{5}{3}$. Сравним $\frac{5}{3}$ и $\frac{3}{2}$. Так как $\frac{5}{3} \approx 1,67$ и $\frac{3}{2} = 1,5$, то $\frac{5}{3} > \frac{3}{2}$. Этот корень является решением системы.

Проверим корень $x_2 = \frac{3}{2}$. Неравенство $x > \frac{3}{2}$ строгое, поэтому $x_2 = \frac{3}{2}$ не является его решением.

Таким образом, у системы есть только одно решение.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

2)

Решим данную систему:

$ \begin{cases} 0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}, \\ 3,7^{x^2} < 3,7^4 \end{cases} $

Сначала решим первое показательное уравнение:

$0,3^{10x^2-47x} = 0,3^{-10x-7}$.

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$10x^2-47x = -10x-7$.

Перенесем все члены в левую часть:

$10x^2-47x+10x+7 = 0$

$10x^2-37x+7 = 0$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = (-37)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 7 = 1369 - 280 = 1089$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-37) + 33}{2 \cdot 10} = \frac{37+33}{20} = \frac{70}{20} = \frac{7}{2} = 3,5$

$x_2 = \frac{-(-37) - 33}{2 \cdot 10} = \frac{37-33}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} = 0,2$

Теперь решим второе показательное неравенство:

$3,7^{x^2} < 3,7^4$.

Так как основание степени $3,7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 < 4$

$x^2 - 4 < 0$

$(x-2)(x+2) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2; 2)$.

Решением системы являются значения $x$, которые являются корнями уравнения и принадлежат интервалу $(-2; 2)$.

Проверим корень $x_1 = 3,5$. Это значение не принадлежит интервалу $(-2; 2)$, так как $3,5 > 2$.

Проверим корень $x_2 = 0,2$. Это значение принадлежит интервалу $(-2; 2)$, так как $-2 < 0,2 < 2$.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $0,2$.

723. 1) $\begin{cases} 2^{x+1} > 1, \\ 0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}, \\ 3^{4x-1} \le 1. \end{cases}$

1) Решим данную систему, состоящую из показательного неравенства и показательного уравнения:

$ \begin{cases} 2^{x+1} > 1, \\ 0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство системы:

$2^{x+1} > 1$

Представим число 1 как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^{x+1} > 2^0$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$x+1 > 0$

$x > -1$

Теперь решим второе уравнение системы:

$0,6^{x^2-2} = \left(1\frac{2}{3}\right)^x$

Чтобы решить это уравнение, приведем основания степеней к одному числу. Преобразуем десятичную и смешанную дроби в обыкновенные:

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Мы видим, что основания являются взаимно обратными числами: $\frac{5}{3} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1}$. Подставим полученные выражения в уравнение:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-2} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}\right)^x$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left(\frac{3}{5}\right)^{x^2-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2-2 = -x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2+x-2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь нам нужно найти решения, которые удовлетворяют обоим условиям системы. Мы нашли, что корни уравнения это $x=1$ и $x=-2$, а решение неравенства - это $x > -1$.

Проверим каждый корень:

Для $x_1 = 1$: $1 > -1$. Это верное утверждение, значит $x=1$ является решением системы.

Для $x_2 = -2$: $-2 > -1$. Это неверное утверждение, значит $x=-2$ не является решением системы.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $1$.

2) Решим данную систему, состоящую из показательного уравнения и показательного неравенства:

$ \begin{cases} 10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}, \\ 3^{4x-1} \le 1 \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение системы:

$10^{5x} = 0,1^{2x^2-3}$

Приведем основания степеней к одному числу, в данном случае к 10. Заметим, что $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$10^{5x} = (10^{-1})^{2x^2-3}$

$10^{5x} = 10^{-1 \cdot (2x^2-3)}$

$10^{5x} = 10^{-2x^2+3}$

Поскольку основания степеней равны, приравняем их показатели:

$5x = -2x^2+3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2+5x-3=0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5+7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5-7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$

Итак, уравнение имеет два корня: $x=1/2$ и $x=-3$.

Теперь решим второе неравенство системы:

$3^{4x-1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^{4x-1} \le 3^0$

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$4x-1 \le 0$

$4x \le 1$

$x \le \frac{1}{4}$

Теперь найдем решения, которые удовлетворяют обоим условиям системы. Мы нашли, что корни уравнения это $x=1/2$ и $x=-3$, а решение неравенства - это $x \le 1/4$.

Проверим каждый корень:

Для $x_1 = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \le \frac{1}{4}$ (или $0,5 \le 0,25$). Это неверное утверждение.

Для $x_2 = -3$: $-3 \le \frac{1}{4}$. Это верное утверждение.

Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $-3$.