Страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (703–704).

703.

1) $3^x > 9;$

2) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4};$

3) $(\frac{1}{4})^x < 2;$

4) $4^x < \frac{1}{2};$

5) $2^{3x} \ge \frac{1}{2};$

6) $(\frac{1}{3})^{x-1} \le \frac{1}{9}.$

1) Исходное неравенство: $3^x > 9$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^x > 3^2$.

Так как основание степени $a=3$ больше 1 ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$.

Так как основание степени $a=\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^x < 2$.

Представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием, например, с основанием 2.

Левая часть: $(\frac{1}{4})^x = ( (2^2)^{-1} )^x = (2^{-2})^x = 2^{-2x}$.

Правая часть: $2 = 2^1$.

Неравенство принимает вид: $2^{-2x} < 2^1$.

Так как основание степени $a=2$ больше 1 ($2 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$-2x < 1$.

Разделим обе части на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $4^x < \frac{1}{2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Левая часть: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

Правая часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^{2x} < 2^{-1}$.

Так как основание $a=2$ больше 1, показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x < -1$.

$x < -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{2})$.

5) Исходное неравенство: $2^{3x} \geq \frac{1}{2}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^{3x} \geq 2^{-1}$.

Так как основание $a=2$ больше 1, показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x \geq -1$.

$x \geq -\frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}; +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq \frac{1}{9}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x-1} \leq (\frac{1}{3})^2$.

Так как основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x-1 \geq 2$.

$x \geq 2 + 1$.

$x \geq 3$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

704. 1) $5^{x-1} \le \sqrt{5}$;

2) $3^{\frac{x}{2}} > 9$;

3) $3^{x^2-4} \ge 1$;

4) $5^{2x^2-18} < 1$.

1) Решим неравенство $5^{x-1} \leq \sqrt{5}$.

Сначала приведем обе части неравенства к одному основанию, равному 5. Правую часть можно представить как степень числа 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

Неравенство принимает вид:

$5^{x-1} \leq 5^{\frac{1}{2}}$

Поскольку основание степени $a=5$ больше 1 ($5 > 1$), показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x-1 \leq \frac{1}{2}$

Теперь решим это линейное неравенство относительно $x$:

$x \leq \frac{1}{2} + 1$

$x \leq \frac{3}{2}$

Решение можно записать в виде промежутка: $x \in (-\infty; 1.5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1.5]$.

2) Решим неравенство $3^{x^2} > 9$.

Приведем обе части к основанию 3. Число 9 можно представить как $3^2$.

Неравенство принимает вид:

$3^{x^2} > 3^2$

Так как основание $a=3$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 > 2$

Решим полученное квадратичное неравенство $x^2 - 2 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 2 = 0$:

$x^2 = 2 \Rightarrow x_{1,2} = \pm\sqrt{2}$

Графиком функции $y=x^2-2$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, решение неравенства:

$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$

Решение в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $3^{x^2-4} \geq 1$.

Приведем обе части к основанию 3. Единицу можно представить как $1 = 3^0$.

Неравенство принимает вид:

$3^{x^2-4} \geq 3^0$

Поскольку основание $a=3$ больше 1, функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2-4 \geq 0$

Решим квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 4 = 0$:

$x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm2$

Графиком функции $y=x^2-4$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \geq 0$ выполняется, когда $x$ находится на корнях или за их пределами. Таким образом, решение:

$x \leq -2$ или $x \geq 2$

Решение в виде объединения промежутков: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

4) Решим неравенство $5^{2x^2-18} < 1$.

Приведем обе части к основанию 5. Единицу можно представить как $1 = 5^0$.

Неравенство принимает вид:

$5^{2x^2-18} < 5^0$

Так как основание $a=5$ больше 1, функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2-18 < 0$

Разделим обе части на 2:

$x^2-9 < 0$

Решим полученное квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 9 = 0$:

$x^2 = 9 \Rightarrow x_{1,2} = \pm3$

Графиком функции $y=x^2-9$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны, когда $x$ находится между корнями. Таким образом, решение:

$-3 < x < 3$

Решение в виде промежутка: $x \in (-3; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

705. Решить графически уравнение:

1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = x + 1;$

2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = x - \frac{1}{2};$

3) $2^x = -x - \frac{7}{4};$

4) $3^x = 11 - x.$

Чтобы решить уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 1$ графически, рассмотрим две функции: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x + 1$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения их графиков.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, функция является непрерывной и убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$ и $(-1, 3)$.

График функции $y = x + 1$ — это прямая линия. Функция является возрастающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что они пересекаются в точке $(0, 1)$. Поскольку одна функция ($y = x+1$) строго возрастает, а другая ($y = (\frac{1}{3})^x$) строго убывает, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, абсцисса этой точки $x=0$ является единственным решением уравнения.

Выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$(\frac{1}{3})^0 = 0 + 1$
$1 = 1$
Равенство верное.

Ответ: $x=0$.

Чтобы решить уравнение $(\frac{1}{2})^x = x - \frac{1}{2}$ графически, рассмотрим две функции: $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x - \frac{1}{2}$. Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения их графиков.

График функции $y = (\frac{1}{2})^x$ — это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, \frac{1}{2})$.

График функции $y = x - \frac{1}{2}$ — это прямая линия, которая является возрастающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, -\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Видно, что они пересекаются в одной точке. Подбором можно найти, что это точка $(1, \frac{1}{2})$, так как при $x=1$: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$ и $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Поскольку показательная функция является выпуклой вниз и убывающей, а прямая — возрастающая, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $x=1$ является единственным решением.

Выполним проверку:
$(\frac{1}{2})^1 = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Равенство верное.

Ответ: $x=1$.

Для графического решения уравнения $2^x = -x - \frac{7}{4}$ построим графики функций $y = 2^x$ и $y = -x - \frac{7}{4}$ в одной системе координат.

График функции $y = 2^x$ — это показательная функция. Основание $a = 2 > 1$, поэтому функция является возрастающей. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

График функции $y = -x - \frac{7}{4}$ — это прямая линия. Функция является убывающей. Для построения прямой найдем две точки, например, $(0, -1.75)$ и $(-1.75, 0)$.

Построим графики. Так как одна функция возрастает, а другая убывает на всей области определения, они могут пересечься не более чем в одной точке. Попробуем найти решение подбором. При $x=-2$ имеем: $y = 2^{-2} = \frac{1}{4}$ и $y = -(-2) - \frac{7}{4} = 2 - \frac{7}{4} = \frac{8-7}{4} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(-2, \frac{1}{4})$. Следовательно, $x=-2$ — единственное решение уравнения.

Проверка:
$2^{-2} = -(-2) - \frac{7}{4}$
$\frac{1}{4} = 2 - \frac{7}{4}$
$\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
Равенство верное.

Ответ: $x=-2$.

Для графического решения уравнения $3^x = 11 - x$ построим графики функций $y = 3^x$ и $y = 11 - x$.

График функции $y = 3^x$ — возрастающая показательная функция (основание $a=3 > 1$), проходящая через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$ и $(2, 9)$.

График функции $y = 11 - x$ — убывающая прямая, проходящая через точки $(0, 11)$ и $(11, 0)$.

Построим графики в одной системе координат. Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором. При $x=2$ получаем: $y = 3^2 = 9$ и $y = 11 - 2 = 9$. Значит, графики пересекаются в точке $(2, 9)$. Абсцисса этой точки $x=2$ является единственным решением уравнения.

Проверка:
$3^2 = 11 - 2$
$9 = 9$
Равенство верное.

Ответ: $x=2$.

Решить неравенство (706—707).

706. 1) $2^{-x^2+3x} < 4$;

2) $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$;

3) $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$;

4) $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$.

1)

Дано неравенство $2^{-x^2+3x} < 4$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $4 = 2^2$, получаем:

$2^{-x^2+3x} < 2^2$

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-x^2+3x < 2$

Перенесем все члены в левую часть и умножим на -1, изменив знак неравенства:

$-x^2+3x-2 < 0$

$x^2-3x+2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2-3x+2=0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1=1$ и $x_2=2$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

2)

Дано неравенство $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{7}{9}$. Так как $\frac{9}{7} = (\frac{7}{9})^{-1}$, получаем:

$(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge (\frac{7}{9})^{-1}$

Основание степени $0 < \frac{7}{9} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$2x^2-3x \le -1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2-3x+1 \le 0$

Найдем корни уравнения $2x^2-3x+1=0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Графиком функции $y=2x^2-3x+1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{2} \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

3)

Дано неравенство $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{13}{11}$. Так как $\frac{121}{169} = \frac{11^2}{13^2} = (\frac{11}{13})^2 = ((\frac{13}{11})^{-1})^2 = (\frac{13}{11})^{-2}$, получаем:

$(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < (\frac{13}{11})^{-2}$

Основание степени $\frac{13}{11} > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2-3x < -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2-3x+2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2-3x+2=0$. Корни: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны строго между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1; 2)$

4)

Дано неравенство $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ и $7\frac{1}{9} = \frac{64}{9}$.

Неравенство примет вид: $(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le \frac{64}{9}$.

Приведем правую часть к основанию $\frac{8}{3}$. Так как $\frac{64}{9} = (\frac{8}{3})^2$, получаем:

$(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le (\frac{8}{3})^2$

Основание степени $\frac{8}{3} > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$6x^2+x \le 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$6x^2+x-2 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2+x-2=0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{-1-\sqrt{49}}{12} = \frac{-1-7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{49}}{12} = \frac{-1+7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y=6x^2+x-2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$

707. 1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28;$

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17;$

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448;$

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624.$

1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(3^2 + 3^{-1}) < 28$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^x(9 + \frac{1}{3}) < 28$

$3^x(\frac{27}{3} + \frac{1}{3}) < 28$

$3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$

Разделим обе части неравенства на $\frac{28}{3}$ (что равносильно умножению на $\frac{3}{28}$). Так как это число положительное, знак неравенства не изменится.

$3^x < 28 \cdot \frac{3}{28}$

$3^x < 3$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $3^x < 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^3 > 17$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(2^{-1} + 2^3) > 17$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^x(\frac{1}{2} + 8) > 17$

$2^x(\frac{1}{2} + \frac{16}{2}) > 17$

$2^x \cdot \frac{17}{2} > 17$

Разделим обе части неравенства на $\frac{17}{2}$. Знак неравенства не изменится.

$2^x > 17 \cdot \frac{2}{17}$

$2^x > 2$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $2^x > 2^1$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \ge 448$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^{2x} \cdot 2^{-1} + 2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^{2x} \cdot 2^{-3} \ge 448$

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$2^{2x}(2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3}) \ge 448$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^{2x}(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) \ge 448$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$2^{2x}(\frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8}) \ge 448$

$2^{2x} \cdot \frac{7}{8} \ge 448$

Умножим обе части неравенства на $\frac{8}{7}$. Знак неравенства не изменится.

$2^{2x} \ge 448 \cdot \frac{8}{7}$

$2^{2x} \ge 64 \cdot 8$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$, $8 = 2^3$.

$2^{2x} \ge 2^6 \cdot 2^3$

$2^{2x} \ge 2^{6+3}$

$2^{2x} \ge 2^9$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \ge 9$

$x \ge \frac{9}{2}$

$x \ge 4.5$

Ответ: $x \in [4.5; +\infty)$.

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \le 624$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$5^{3x} \cdot 5^1 - 5^{3x} \cdot 5^{-3} \le 624$

Вынесем общий множитель $5^{3x}$ за скобки:

$5^{3x}(5^1 - 5^{-3}) \le 624$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5^{3x}(5 - \frac{1}{125}) \le 624$

$5^{3x}(\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}) \le 624$

$5^{3x}(\frac{625-1}{125}) \le 624$

$5^{3x} \cdot \frac{624}{125} \le 624$

Разделим обе части неравенства на $\frac{624}{125}$. Знак неравенства не изменится.

$5^{3x} \le 624 \cdot \frac{125}{624}$

$5^{3x} \le 125$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $125 = 5^3$.

$5^{3x} \le 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$3x \le 3$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.