Номер 706, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (706—707).

706. 1) $2^{-x^2+3x} < 4$;

2) $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$;

3) $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$;

4) $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$.

1)

Дано неравенство $2^{-x^2+3x} < 4$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $4 = 2^2$, получаем:

$2^{-x^2+3x} < 2^2$

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$-x^2+3x < 2$

Перенесем все члены в левую часть и умножим на -1, изменив знак неравенства:

$-x^2+3x-2 < 0$

$x^2-3x+2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2-3x+2=0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1=1$ и $x_2=2$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$

2)

Дано неравенство $(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge \frac{9}{7}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{7}{9}$. Так как $\frac{9}{7} = (\frac{7}{9})^{-1}$, получаем:

$(\frac{7}{9})^{2x^2-3x} \ge (\frac{7}{9})^{-1}$

Основание степени $0 < \frac{7}{9} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$2x^2-3x \le -1$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2-3x+1 \le 0$

Найдем корни уравнения $2x^2-3x+1=0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни: $x_1 = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{3+1}{4} = 1$.

Графиком функции $y=2x^2-3x+1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $\frac{1}{2} \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

3)

Дано неравенство $(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < \frac{121}{169}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{13}{11}$. Так как $\frac{121}{169} = \frac{11^2}{13^2} = (\frac{11}{13})^2 = ((\frac{13}{11})^{-1})^2 = (\frac{13}{11})^{-2}$, получаем:

$(\frac{13}{11})^{x^2-3x} < (\frac{13}{11})^{-2}$

Основание степени $\frac{13}{11} > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$x^2-3x < -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2-3x+2 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2-3x+2=0$. Корни: $x_1=1$ и $x_2=2$.

Графиком функции $y=x^2-3x+2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны строго между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1; 2)$

4)

Дано неравенство $(2\frac{2}{3})^{6x^2+x} \le 7\frac{1}{9}$.

Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ и $7\frac{1}{9} = \frac{64}{9}$.

Неравенство примет вид: $(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le \frac{64}{9}$.

Приведем правую часть к основанию $\frac{8}{3}$. Так как $\frac{64}{9} = (\frac{8}{3})^2$, получаем:

$(\frac{8}{3})^{6x^2+x} \le (\frac{8}{3})^2$

Основание степени $\frac{8}{3} > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:

$6x^2+x \le 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$6x^2+x-2 \le 0$

Найдем корни уравнения $6x^2+x-2=0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49$.

Корни: $x_1 = \frac{-1-\sqrt{49}}{12} = \frac{-1-7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{49}}{12} = \frac{-1+7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y=6x^2+x-2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{2}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; \frac{1}{2}]$