Номер 707, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

707. 1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28;$

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17;$

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \geq 448;$

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \leq 624.$

1) $3^{x+2} + 3^{x-1} < 28$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$.

$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^{-1} < 28$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(3^2 + 3^{-1}) < 28$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^x(9 + \frac{1}{3}) < 28$

$3^x(\frac{27}{3} + \frac{1}{3}) < 28$

$3^x \cdot \frac{28}{3} < 28$

Разделим обе части неравенства на $\frac{28}{3}$ (что равносильно умножению на $\frac{3}{28}$). Так как это число положительное, знак неравенства не изменится.

$3^x < 28 \cdot \frac{3}{28}$

$3^x < 3$

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $3^x < 3^1$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

2) $2^{x-1} + 2^{x+3} > 17$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^x \cdot 2^{-1} + 2^x \cdot 2^3 > 17$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(2^{-1} + 2^3) > 17$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^x(\frac{1}{2} + 8) > 17$

$2^x(\frac{1}{2} + \frac{16}{2}) > 17$

$2^x \cdot \frac{17}{2} > 17$

Разделим обе части неравенства на $\frac{17}{2}$. Знак неравенства не изменится.

$2^x > 17 \cdot \frac{2}{17}$

$2^x > 2$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $2^x > 2^1$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

3) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} \ge 448$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^{2x} \cdot 2^{-1} + 2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^{2x} \cdot 2^{-3} \ge 448$

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$2^{2x}(2^{-1} + 2^{-2} + 2^{-3}) \ge 448$

Вычислим значение выражения в скобках:

$2^{2x}(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}) \ge 448$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$2^{2x}(\frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8}) \ge 448$

$2^{2x} \cdot \frac{7}{8} \ge 448$

Умножим обе части неравенства на $\frac{8}{7}$. Знак неравенства не изменится.

$2^{2x} \ge 448 \cdot \frac{8}{7}$

$2^{2x} \ge 64 \cdot 8$

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$, $8 = 2^3$.

$2^{2x} \ge 2^6 \cdot 2^3$

$2^{2x} \ge 2^{6+3}$

$2^{2x} \ge 2^9$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \ge 9$

$x \ge \frac{9}{2}$

$x \ge 4.5$

Ответ: $x \in [4.5; +\infty)$.

4) $5^{3x+1} - 5^{3x-3} \le 624$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$5^{3x} \cdot 5^1 - 5^{3x} \cdot 5^{-3} \le 624$

Вынесем общий множитель $5^{3x}$ за скобки:

$5^{3x}(5^1 - 5^{-3}) \le 624$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5^{3x}(5 - \frac{1}{125}) \le 624$

$5^{3x}(\frac{5 \cdot 125}{125} - \frac{1}{125}) \le 624$

$5^{3x}(\frac{625-1}{125}) \le 624$

$5^{3x} \cdot \frac{624}{125} \le 624$

Разделим обе части неравенства на $\frac{624}{125}$. Знак неравенства не изменится.

$5^{3x} \le 624 \cdot \frac{125}{624}$

$5^{3x} \le 125$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $125 = 5^3$.

$5^{3x} \le 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$3x \le 3$

$x \le 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1]$.