Номер 708, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

708. Найти целые решения неравенства на отрезке [-3; 3]:

1) $9^x - 3^x - 6 > 0$;

2) $4^x - 2^x < 12$;

3) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$;

4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4$.

1) $9^x - 3^x - 6 > 0$

Представим неравенство в виде $(3^2)^x - 3^x - 6 > 0$, что эквивалентно $(3^x)^2 - 3^x - 6 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - t - 6 > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 > 0$ выполняется при $t < -2$ или $t > 3$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > 3$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$3^x > 3$

$3^x > 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то $x > 1$.

Теперь найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x > 1$. Такими числами являются 2 и 3.

Ответ: 2; 3.

2) $4^x - 2^x < 12$

Перенесем 12 в левую часть: $4^x - 2^x - 12 < 0$.

Представим неравенство как $(2^x)^2 - 2^x - 12 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - t - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 - t - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 12 < 0$ выполняется при $-3 < t < 4$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < 4$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 < 2^x < 4$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

$2^x < 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то $x < 2$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x < 2$. Такими числами являются -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

3) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство: $5^1 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$, что равносильно $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $5t^2 + 4t - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни: $t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{-4 - 6}{10} = -1$.

Парабола $y = 5t^2 + 4t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -1$ или $t > \frac{1}{5}$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > \frac{1}{5}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$5^x > \frac{1}{5}$

$5^x > 5^{-1}$

Так как основание степени $5 > 1$, то $x > -1$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x > -1$. Такими числами являются 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0; 1; 2; 3.

4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4$

Перенесем 4 в левую часть и преобразуем неравенство: $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $3t^2 + 11t - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + 11t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$.

Корни: $t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

Парабола $y = 3t^2 + 11t - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $-4 < t < \frac{1}{3}$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 < 3^x < \frac{1}{3}$

Решим неравенство $3^x < \frac{1}{3}$.

$3^x < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, то $x < -1$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x < -1$. Такими числами являются -3, -2.

Ответ: -3; -2.