Номер 714, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

714. 1) $0.4^x - 2.5^{x+1} > 1.5;$

2) $25 \cdot 0.04^{2x} > 0.2^{x(3-x)};$

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4;$

4) $\left(\frac{1}{4}\right)^x - 32 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1} < 0.$

1) $0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5$

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2})^{x+1} > \frac{3}{2}$

Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$. Приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2})^x \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x} \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$t - \frac{1}{t} \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

$t - \frac{5}{2t} > \frac{3}{2}$

Умножим обе части неравенства на $2t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не изменится.

$2t^2 - 5 > 3t$

$2t^2 - 3t - 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3-7}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Так как ветви параболы $y = 2t^2 - 3t - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < -1$ или $t > \frac{5}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > \frac{5}{2}$.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{2}{5})^x > \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^{-1}$

Так как основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x < -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2) $25 \cdot 0,04^{2x} > 0,2^{x(3-x)}$

Приведем все члены неравенства к основанию 5.

$25 = 5^2$

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим эти значения в неравенство:

$5^2 \cdot (5^{-2})^{2x} > (5^{-1})^{x(3-x)}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^2 \cdot 5^{-4x} > 5^{-x(3-x)}$

$5^{2-4x} > 5^{-3x+x^2}$

Так как основание степени 5 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$2 - 4x > -3x + x^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 > x^2 - 3x + 4x - 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

$-2 < x < 1$

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{4^x}{4^x - 3^x} - 4 < 0$

$\frac{4^x - 4(4^x - 3^x)}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{4^x - 4 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{-3 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{3 \cdot 4^x - 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} > 0$

Разделим числитель и знаменатель на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{3 \cdot \frac{4^x}{3^x} - 4 \cdot \frac{3^x}{3^x}}{\frac{4^x}{3^x} - \frac{3^x}{3^x}} > 0$

$\frac{3 \cdot (\frac{4}{3})^x - 4}{(\frac{4}{3})^x - 1} > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{4}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{3t - 4}{t - 1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$3t - 4 = 0 \implies t = \frac{4}{3}$

$t - 1 = 0 \implies t = 1$

На числовой оси отметим точки 1 и $\frac{4}{3}$. Они делят ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

При $t > \frac{4}{3}$, выражение положительно.

При $1 < t < \frac{4}{3}$, выражение отрицательно.

При $t < 1$, выражение положительно.

Таким образом, решение для $t$: $t < 1$ или $t > \frac{4}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $(\frac{4}{3})^x < 1 \implies (\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^0$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x < 0$.

2) $(\frac{4}{3})^x > \frac{4}{3} \implies (\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^1$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{4})^x - 32 \cdot (\frac{1}{8})^{x^2 - 1} < 0$

Приведем все члены неравенства к основанию 2.

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

$32 = 2^5$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$

Подставим эти значения в неравенство:

$(2^{-2})^x - 2^5 \cdot (2^{-3})^{x^2 - 1} < 0$

$2^{-2x} - 2^5 \cdot 2^{-3(x^2 - 1)} < 0$

$2^{-2x} - 2^{5 - 3x^2 + 3} < 0$

$2^{-2x} - 2^{8 - 3x^2} < 0$

$2^{-2x} < 2^{8 - 3x^2}$

Так как основание степени 2 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$-2x < 8 - 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$x_1 = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями.

$-\frac{4}{3} < x < 2$

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; 2)$.