Страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

708. Найти целые решения неравенства на отрезке [-3; 3]:

1) $9^x - 3^x - 6 > 0$;

2) $4^x - 2^x < 12$;

3) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$;

4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4$.

1) $9^x - 3^x - 6 > 0$

Представим неравенство в виде $(3^2)^x - 3^x - 6 > 0$, что эквивалентно $(3^x)^2 - 3^x - 6 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - t - 6 > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - t - 6$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 6 > 0$ выполняется при $t < -2$ или $t > 3$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > 3$.

Возвращаемся к исходной переменной $x$:

$3^x > 3$

$3^x > 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то $x > 1$.

Теперь найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x > 1$. Такими числами являются 2 и 3.

Ответ: 2; 3.

2) $4^x - 2^x < 12$

Перенесем 12 в левую часть: $4^x - 2^x - 12 < 0$.

Представим неравенство как $(2^x)^2 - 2^x - 12 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - t - 12 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Парабола $y = t^2 - t - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 12 < 0$ выполняется при $-3 < t < 4$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < 4$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 < 2^x < 4$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим неравенство $2^x < 4$.

$2^x < 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то $x < 2$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x < 2$. Такими числами являются -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -3; -2; -1; 0; 1.

3) $5^{2x+1} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство: $5^1 \cdot 5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$, что равносильно $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $5t^2 + 4t - 1 > 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$.

Корни: $t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{-4 - 6}{10} = -1$.

Парабола $y = 5t^2 + 4t - 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -1$ или $t > \frac{1}{5}$.

Учитывая условие $t > 0$, нам подходит только $t > \frac{1}{5}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$5^x > \frac{1}{5}$

$5^x > 5^{-1}$

Так как основание степени $5 > 1$, то $x > -1$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x > -1$. Такими числами являются 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0; 1; 2; 3.

4) $3 \cdot 9^x + 11 \cdot 3^x < 4$

Перенесем 4 в левую часть и преобразуем неравенство: $3 \cdot (3^x)^2 + 11 \cdot 3^x - 4 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $3t^2 + 11t - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + 11t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$.

Корни: $t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$.

Парабола $y = 3t^2 + 11t - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $-4 < t < \frac{1}{3}$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 < 3^x < \frac{1}{3}$

Решим неравенство $3^x < \frac{1}{3}$.

$3^x < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, то $x < -1$.

Найдем целые решения на отрезке $[-3; 3]$. Нам нужны целые числа $x$, удовлетворяющие условиям $-3 \le x \le 3$ и $x < -1$. Такими числами являются -3, -2.

Ответ: -3; -2.

709. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt{6^x};$

2) $y = \sqrt[3]{-5^x};$

3) $y = \frac{1}{10^x};$

4) $y = \frac{1}{2^x - 1};$

5) $y = \sqrt{25^x - 5^x};$

6) $y = \sqrt{4^x - 1}.$

1) Для функции $y = \sqrt{6^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$6^x \ge 0$.
Показательная функция $a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=6$) всегда принимает только положительные значения, то есть $6^x > 0$ для любого действительного числа $x$. Следовательно, неравенство $6^x \ge 0$ выполняется для всех $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt[3]{-5^x}$ область определения (D(y)) не имеет ограничений, так как корень нечетной степени (кубический корень) можно извлекать из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля).
Выражение $-5^x$ определено для всех действительных значений $x$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) Для функции $y = \frac{1}{10^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$10^x \neq 0$.
Показательная функция $a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=10$) всегда принимает только положительные значения, поэтому $10^x$ никогда не равно нулю. Ограничений на $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) Для функции $y = \frac{1}{2^x - 1}$ область определения (D(y)) находится из условия, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$2^x - 1 \neq 0$
$2^x \neq 1$
Представим 1 как $2^0$:
$2^x \neq 2^0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

5) Для функции $y = \sqrt{25^x - 5^x}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$25^x - 5^x \ge 0$
Представим $25^x$ как $(5^2)^x = 5^{2x}$:
$5^{2x} - 5^x \ge 0$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(5^x - 1) \ge 0$
Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, мы можем разделить обе части неравенства на $5^x$, не меняя знака неравенства:
$5^x - 1 \ge 0$
$5^x \ge 1$
$5^x \ge 5^0$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

6) Для функции $y = \sqrt{4^x - 1}$ область определения (D(y)) находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$4^x - 1 \ge 0$
$4^x \ge 1$
Представим 1 как $4^0$:
$4^x \ge 4^0$
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$x \ge 0$.
Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

710. При каких значениях $x$ значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ больше значений функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x + 12$?

Чтобы найти значения $x$, при которых значения функции $y = (\frac{1}{4})^x$ больше значений функции $y = (\frac{1}{2})^x + 12$, необходимо решить следующее неравенство:

$(\frac{1}{4})^x > (\frac{1}{2})^x + 12$

Преобразуем левую часть неравенства, приведя ее к основанию $\frac{1}{2}$, так как $(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{2})^2$:

$((\frac{1}{2})^2)^x > (\frac{1}{2})^x + 12$

$(\frac{1}{2})^{2x} > (\frac{1}{2})^x + 12$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства:

$t^2 > t + 12$

$t^2 - t - 12 > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - t - 12 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2} = 4$

Парабола $y = t^2 - t - 12$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 12 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть при $t < -3$ или $t > 4$.

Учитывая наше ограничение $t > 0$, из двух полученных интервалов нам подходит только $t > 4$.

Теперь выполним обратную замену:

$(\frac{1}{2})^x > 4$

Представим число 4 как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$4 = 2^2 = ((\frac{1}{2})^{-1})^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$

Подставим это в неравенство:

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^{-2}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что при сравнении показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

711. Решить графически неравенство:

1) $ \left(\frac{1}{3}\right)^x \ge x+1; $

2) $ \left(\frac{1}{2}\right)^x < x-\frac{1}{2}; $

3) $ 2^x \le 9-\frac{1}{3}x; $

4) $ 3^x > -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}. $

1) $(\frac{1}{3})^x \ge x + 1$

Для решения этого неравенства графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x + 1$.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$, так как любое число в нулевой степени равно 1. Другие точки для построения: при $x = -1, y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$; при $x = 1, y = \frac{1}{3}$.

Функция $y = x + 1$ — это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = -1$, то $y = 0$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(0, 1)$. Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{3})^x$ находится не ниже (то есть выше или на том же уровне), чем график функции $y = x + 1$. Глядя на чертеж, это условие выполняется для всех $x$, которые меньше или равны абсциссе точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$.

2) $(\frac{1}{2})^x < x - \frac{1}{2}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x - \frac{1}{2}$.

Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{2})$, $(-1, 2)$.

Функция $y = x - \frac{1}{2}$ — это линейная функция (прямая). Для построения возьмем точки: если $x=0$, то $y = -\frac{1}{2}$; если $x=\frac{1}{2}$, то $y=0$. Прямая проходит через точки $(0, -\frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.

Найдем точку пересечения графиков. Можно заметить, что при $x=1$ обе функции принимают одинаковое значение: $y = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$ и $y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(1, \frac{1}{2})$.

Неравенство требует найти такие $x$, при которых график функции $y = (\frac{1}{2})^x$ находится строго ниже графика функции $y = x - \frac{1}{2}$. Из графиков видно, что это происходит для всех $x$ справа от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x > 1$.

Ответ: $x > 1$.

3) $2^x < 9 - \frac{1}{3}x$

Построим в одной системе координат графики функций $y = 2^x$ и $y = 9 - \frac{1}{3}x$.

Функция $y = 2^x$ — это возрастающая показательная функция (основание $a=2 > 1$). График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 8)$.

Функция $y = 9 - \frac{1}{3}x$ — это линейная функция (прямая), убывающая. Для построения возьмем точки: если $x=0$, то $y=9$; если $x=3$, то $y = 9 - \frac{1}{3}(3) = 9 - 1 = 8$. Прямая проходит через точки $(0, 9)$ и $(3, 8)$.

Из вычислений для построения мы уже видим, что графики пересекаются в точке $(3, 8)$. Так как одна функция возрастающая, а другая убывающая, точка пересечения единственная.

Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y = 2^x$ находится строго ниже графика функции $y = 9 - \frac{1}{3}x$. Это выполняется для всех $x$ слева от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x < 3$.

Ответ: $x < 3$.

4) $3^x > -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = 3^x$ и $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$.

Функция $y = 3^x$ — это возрастающая показательная функция. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, \frac{1}{3})$.

Функция $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$ — это линейная функция (прямая), убывающая. Для построения возьмем точки: если $x=-1$, то $y = -\frac{2}{3}(-1) - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$; если $x=1$, то $y = -\frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3} = -1$. Прямая проходит через точки $(-1, \frac{1}{3})$ и $(1, -1)$.

Из вычислений видно, что графики пересекаются в точке $(-1, \frac{1}{3})$. Поскольку показательная функция возрастает, а линейная убывает, точка пересечения одна.

Неравенство требует найти такие $x$, при которых график функции $y = 3^x$ находится строго выше графика функции $y = -\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$. Это выполняется для всех $x$ справа от точки пересечения.

Следовательно, решение неравенства — это промежуток $x > -1$.

Ответ: $x > -1$.

712. Решить графически уравнение:

1) $2^x = 3 - 2x - x^2$;

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$;

3) $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$;

4) $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1.$

1) $2^x = 3 - 2x - x^2$

Для решения данного уравнения графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - 2x - x^2$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

Первая функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция (экспонента). Её график проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает на всей области определения. Для построения можно использовать точки: $(-2, 0.25)$, $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.

Вторая функция $y_2 = 3 - 2x - x^2$ (или $y_2 = -x^2 - 2x + 3$) — это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика найдем вершину параболы: абсцисса вершины $x_0 = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot -1) = -1$, ордината $y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина находится в точке $(-1, 4)$. Найдем точки пересечения с осями координат. С осью OY ($x=0$): $y=3$, точка $(0, 3)$. С осью OX ($y=0$): $-x^2 - 2x + 3 = 0$, корни $x_1=1$ и $x_2=-3$. Точки пересечения $(1, 0)$ и $(-3, 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Так как точные значения не являются целыми числами, графический метод дает приблизительные решения. Одна точка пересечения имеет абсциссу в интервале $(-3, -2)$, а другая — в интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x_1 \approx -2.9, x_2 \approx 0.6$.

2) $3^{-x} = \sqrt{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^{-x}$ и $y_2 = \sqrt{x}$. Абсцисса точки их пересечения будет решением уравнения.

Функция $y_1 = 3^{-x}$, что то же самое, что $y_1 = (\frac{1}{3})^x$, является показательной функцией, убывающей на всей области определения. Её график проходит через точку $(0, 1)$. Ключевые точки для построения: $(-1, 3)$, $(0, 1)$, $(1, 1/3)$.

Функция $y_2 = \sqrt{x}$ определена для $x \ge 0$. Её график — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ графику $y=x^2$. График начинается в точке $(0, 0)$ и монотонно возрастает. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

При построении графиков видно, что они пересекаются только в одной точке. Это связано с тем, что для $x > 0$ функция $y_1=3^{-x}$ убывает, а $y_2=\sqrt{x}$ возрастает. Абсцисса точки пересечения находится в интервале $(0, 1)$.

Ответ: $x \approx 0.4$.

3) $(\frac{1}{3})^x = -\frac{3}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = -\frac{3}{x}$.

График функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — это убывающая показательная функция. Важным свойством является то, что она всегда положительна ($y_1>0$) для любого $x$.

График функции $y_2 = -\frac{3}{x}$ — это гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях.

Поскольку $y_1 > 0$, пересечение графиков возможно только там, где $y_2 > 0$. Это происходит, когда $x < 0$, то есть во второй четверти. Построим графики для $x<0$. Проверим значения функций в точке $x=-1$: для $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ получаем $y_1 = (\frac{1}{3})^{-1} = 3$; для $y_2 = -\frac{3}{x}$ получаем $y_2 = -\frac{3}{-1} = 3$. Значения совпадают, значит, графики пересекаются в точке $(-1, 3)$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является возрастающей, а функция $y_2 = -\frac{3}{x}$ — убывающей, поэтому у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -1$.

4) $(\frac{1}{2})^x = x^3 - 1$

Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = x^3 - 1$.

График функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — это убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 0.5)$, $(2, 0.25)$.

График функции $y_2 = x^3 - 1$ — это кубическая парабола (график $y=x^3$), смещенная на 1 единицу вниз. Эта функция является возрастающей на всей области определения. Некоторые точки: $(-1, -2)$, $(0, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 7)$.

Построим оба графика. Убывающая функция $y_1$ и возрастающая функция $y_2$ могут пересечься только в одной точке. Чтобы найти примерный интервал, содержащий корень, сравним значения функций. При $x=1$ имеем $y_1=0.5$, а $y_2=0$. При $x=2$ имеем $y_1=0.25$, а $y_2=7$. Так как в точке $x=1$ разность $y_1 - y_2 > 0$, а в точке $x=2$ разность $y_1 - y_2 < 0$, корень находится в интервале $(1, 2)$. Из графика видно, что абсцисса точки пересечения немного больше 1.

Ответ: $x \approx 1.1$.

Решить неравенство (713—716).

713. 1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$;

2) $0,3^{\sqrt{30-x}} > 0,3^x$.

1) $11^{\sqrt{x+6}} > 11^x$

Поскольку основание степени $11 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству для показателей степеней с тем же знаком:

$\sqrt{x+6} > x$

Решим это иррациональное неравенство. Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

Теперь рассмотрим два случая для решения неравенства $\sqrt{x+6} > x$.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $x < 0$.
В этом случае левая часть, $\sqrt{x+6}$, всегда неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из этого случая, которые удовлетворяют ОДЗ.

Объединим условия $x < 0$ и $x \ge -6$:

$x \in [-6, 0)$

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $x \ge 0$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+6})^2 > x^2$

$x+6 > x^2$

$x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y=x^2 - x - 6$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями:

$x \in (-2, 3)$

Теперь найдем пересечение этого решения с условием для данного случая ($x \ge 0$):

$x \in [0, 3)$

Объединим решения из обоих случаев:

$[-6, 0) \cup [0, 3) = [-6, 3)$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -6$).

Ответ: $x \in [-6, 3)$.

2) $0.3^{\sqrt{30-x}} > 0.3^x$

Поскольку основание степени $0.3$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$\sqrt{30-x} < x$

Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:

$ \begin{cases} 30-x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(правая часть должна быть строго больше левой, которая неотрицательна)} \\ (\sqrt{30-x})^2 < x^2 & \text{(возведение в квадрат обеих неотрицательных частей)} \end{cases} $

Решим эту систему:

1. $30-x \ge 0 \implies x \le 30$

2. $x > 0$

3. $30-x < x^2 \implies x^2 + x - 30 > 0$

Для решения третьего неравенства найдем корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 5$.
Так как ветви параболы $y=x^2+x-30$ направлены вверх, неравенство $x^2+x-30 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями:

$x \in (-\infty, -6) \cup (5, \infty)$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств системы:

$ \begin{cases} x \le 30 \\ x > 0 \\ x \in (-\infty, -6) \cup (5, \infty) \end{cases} $

Из первых двух условий получаем $x \in (0, 30]$.
Пересекаем этот результат с третьим условием: $(0, 30] \cap ((-\infty, -6) \cup (5, \infty))$.
Интервал $(0, 30]$ не пересекается с $(-\infty, -6)$.
Пересечение $(0, 30]$ и $(5, \infty)$ дает интервал $(5, 30]$.

Следовательно, решение системы и исходного неравенства: $x \in (5, 30]$.

Ответ: $x \in (5, 30]$.

714. 1) $0.4^x - 2.5^{x+1} > 1.5;$

2) $25 \cdot 0.04^{2x} > 0.2^{x(3-x)};$

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4;$

4) $\left(\frac{1}{4}\right)^x - 32 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{x^2-1} < 0.$

1) $0,4^x - 2,5^{x+1} > 1,5$

Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2})^{x+1} > \frac{3}{2}$

Заметим, что $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$. Приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{5}$:

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{5}{2})^x \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

$(\frac{2}{5})^x - (\frac{2}{5})^{-x} \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$t - \frac{1}{t} \cdot \frac{5}{2} > \frac{3}{2}$

$t - \frac{5}{2t} > \frac{3}{2}$

Умножим обе части неравенства на $2t$. Так как $t > 0$, знак неравенства не изменится.

$2t^2 - 5 > 3t$

$2t^2 - 3t - 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{3-7}{4} = -1$

$t_2 = \frac{3+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Так как ветви параболы $y = 2t^2 - 3t - 5$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t < -1$ или $t > \frac{5}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > \frac{5}{2}$.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{2}{5})^x > \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x > (\frac{2}{5})^{-1}$

Так как основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x < -1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

2) $25 \cdot 0,04^{2x} > 0,2^{x(3-x)}$

Приведем все члены неравенства к основанию 5.

$25 = 5^2$

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Подставим эти значения в неравенство:

$5^2 \cdot (5^{-2})^{2x} > (5^{-1})^{x(3-x)}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^2 \cdot 5^{-4x} > 5^{-x(3-x)}$

$5^{2-4x} > 5^{-3x+x^2}$

Так как основание степени 5 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$2 - 4x > -3x + x^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 > x^2 - 3x + 4x - 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Ветви параболы $y = x^2 + x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 2 < 0$ выполняется между корнями.

$-2 < x < 1$

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

3) $\frac{4^x}{4^x - 3^x} < 4$

Перенесем 4 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

$\frac{4^x}{4^x - 3^x} - 4 < 0$

$\frac{4^x - 4(4^x - 3^x)}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{4^x - 4 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

$\frac{-3 \cdot 4^x + 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} < 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{3 \cdot 4^x - 4 \cdot 3^x}{4^x - 3^x} > 0$

Разделим числитель и знаменатель на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{3 \cdot \frac{4^x}{3^x} - 4 \cdot \frac{3^x}{3^x}}{\frac{4^x}{3^x} - \frac{3^x}{3^x}} > 0$

$\frac{3 \cdot (\frac{4}{3})^x - 4}{(\frac{4}{3})^x - 1} > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{4}{3})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$\frac{3t - 4}{t - 1} > 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

$3t - 4 = 0 \implies t = \frac{4}{3}$

$t - 1 = 0 \implies t = 1$

На числовой оси отметим точки 1 и $\frac{4}{3}$. Они делят ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

При $t > \frac{4}{3}$, выражение положительно.

При $1 < t < \frac{4}{3}$, выражение отрицательно.

При $t < 1$, выражение положительно.

Таким образом, решение для $t$: $t < 1$ или $t > \frac{4}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $(\frac{4}{3})^x < 1 \implies (\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^0$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x < 0$.

2) $(\frac{4}{3})^x > \frac{4}{3} \implies (\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^1$. Так как основание $\frac{4}{3} > 1$, то $x > 1$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

4) $(\frac{1}{4})^x - 32 \cdot (\frac{1}{8})^{x^2 - 1} < 0$

Приведем все члены неравенства к основанию 2.

$\frac{1}{4} = 2^{-2}$

$32 = 2^5$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$

Подставим эти значения в неравенство:

$(2^{-2})^x - 2^5 \cdot (2^{-3})^{x^2 - 1} < 0$

$2^{-2x} - 2^5 \cdot 2^{-3(x^2 - 1)} < 0$

$2^{-2x} - 2^{5 - 3x^2 + 3} < 0$

$2^{-2x} - 2^{8 - 3x^2} < 0$

$2^{-2x} < 2^{8 - 3x^2}$

Так как основание степени 2 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$-2x < 8 - 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$3x^2 - 2x - 8 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 2x - 8 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.

$x_1 = \frac{2 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{2 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x - 8$ направлены вверх, поэтому неравенство $3x^2 - 2x - 8 < 0$ выполняется между корнями.

$-\frac{4}{3} < x < 2$

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}; 2)$.

715. $ (2.5)^{(x+1)^2} \cdot (0.4)^{4|x-1|} \ge \left(\frac{25}{4}\right)^{6.5} $

Для решения данного показательного неравенства приведем все основания степеней к одному числу.

Исходное неравенство:

$(2,5)^{(x+1)^2} \cdot (0,4)^{4|x-1|} \ge (\frac{25}{4})^{6,5}$

Представим основания $2,5$, $0,4$ и $\frac{25}{4}$ в виде степеней с одним и тем же основанием. Удобно выбрать основание $\frac{5}{2}$:

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$

$\frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2} \cdot ((\frac{5}{2})^{-1})^{4|x-1|} \ge ((\frac{5}{2})^2)^{6,5}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2} \cdot (\frac{5}{2})^{-4|x-1|} \ge (\frac{5}{2})^{2 \cdot 6,5}$

$(\frac{5}{2})^{(x+1)^2 - 4|x-1|} \ge (\frac{5}{2})^{13}$

Так как основание степени $\frac{5}{2} > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$(x+1)^2 - 4|x-1| \ge 13$

Раскроем квадрат суммы и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x + 1 - 4|x-1| - 13 \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4|x-1| \ge 0$

Для решения этого неравенства с модулем рассмотрим два случая.

1. Случай, когда $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + 2x - 12 - 4(x-1) \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4x + 4 \ge 0$

$x^2 - 2x - 8 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, получаем $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Графиком функции $y=x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 8 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [4, \infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x \ge 1$), получаем решение: $x \in [4, \infty)$.

2. Случай, когда $x-1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Неравенство принимает вид:

$x^2 + 2x - 12 - 4(1-x) \ge 0$

$x^2 + 2x - 12 - 4 + 4x \ge 0$

$x^2 + 6x - 16 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$.

Графиком функции $y=x^2 + 6x - 16$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 6x - 16 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -8] \cup [2, \infty)$.

Учитывая условие этого случая ($x < 1$), получаем решение: $x \in (-\infty, -8]$.

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$(-\infty, -8] \cup [4, \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty, -8] \cup [4, \infty)$.

716. $(x^2 - x + 1)^{x^2 - \frac{5}{2}x + 1} < 1$

Для решения показательно-степенного неравенства $(x^2 - x + 1)^{x^2 - \frac{5}{2}x + 1} < 1$ необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от значения основания степени.

Обозначим основание $f(x) = x^2 - x + 1$ и показатель степени $g(x) = x^2 - \frac{5}{2}x + 1$.

Прежде всего, проанализируем основание $f(x) = x^2 - x + 1$. Дискриминант этого квадратного трехчлена равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), то функция $f(x)$ принимает только положительные значения при любых действительных $x$. Таким образом, область определения неравенства — все действительные числа.

Неравенство вида $f(x)^{g(x)} < 1$ можно представить как $f(x)^{g(x)} < f(x)^0$. Дальнейшее решение зависит от того, больше или меньше единицы основание $f(x)$.

Случай 1: Основание больше 1, а показатель степени отрицателен.

Этот случай описывается системой неравенств:

$\begin{cases} f(x) > 1 \\ g(x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - x + 1 > 1 \\ x^2 - \frac{5}{2}x + 1 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы. Для удобства умножим его на 2:

$2x^2 - 5x + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Так как ветви параболы $y=2x^2-5x+2$ направлены вверх, неравенство $2x^2 - 5x + 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (\frac{1}{2}, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ и $(\frac{1}{2}, 2)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(1, 2)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени положителен.

Этот случай описывается системой неравенств:

$\begin{cases} 0 < f(x) < 1 \\ g(x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x^2 - x + 1 < 1 \\ x^2 - \frac{5}{2}x + 1 > 0 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство $0 < x^2 - x + 1 < 1$.

Как мы уже установили, $x^2 - x + 1 > 0$ для всех $x$. Поэтому достаточно решить неравенство:

$x^2 - x + 1 < 1$

$x^2 - x < 0$

$x(x - 1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 1)$.

Решим второе неравенство системы:

$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 > 0 \implies 2x^2 - 5x + 2 > 0$

Корни соответствующего уравнения $x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $(0, 1)$ и $(-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $(0, \frac{1}{2})$.

Итог.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.

Объединяем полученные интервалы: $(1, 2) \cup (0, \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (1, 2)$