Страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

724. 1) $\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21}, \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10}, \\ 3^x > 3^y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (0,2^y)^x = 0,008, \\ (0,4)^y = 0,4^{3,5-x}, \\ 2^x \cdot 0,5^y < 1. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений и неравенство:

$\begin{cases} (5^x)^y = 5^{21}, \\ 5^x \cdot 5^y = 5^{10}, \\ 3^x > 3^y; \end{cases}$

Упростим первые два уравнения, используя свойства степеней.

Первое уравнение: $(5^x)^y = 5^{21}$. По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $5^{xy} = 5^{21}$. Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $xy = 21$.

Второе уравнение: $5^x \cdot 5^y = 5^{10}$. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $5^{x+y} = 5^{10}$. Отсюда следует, что $x+y = 10$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x+y = 10 \\ xy = 21 \end{cases}$

Эту систему можно решить по теореме Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив наши значения, получим:

$t^2 - 10t + 21 = 0$

Находим корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.

$t_1 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3$

$t_2 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7$

Таким образом, возможны два варианта для пары $(x, y)$: $(3, 7)$ и $(7, 3)$.

Теперь используем третье условие системы: $3^x > 3^y$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $f(t)=3^t$ является возрастающей. Это означает, что неравенство $3^x > 3^y$ выполняется тогда и только тогда, когда $x > y$.

Проверим оба варианта:

1. Если $(x, y) = (3, 7)$, то неравенство $x > y$ принимает вид $3 > 7$, что является ложным.

2. Если $(x, y) = (7, 3)$, то неравенство $x > y$ принимает вид $7 > 3$, что является истинным.

Следовательно, единственным решением системы является пара $(7, 3)$.

Ответ: $(7; 3)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений и неравенство:

$\begin{cases} (0,2^y)^x = 0,008, \\ (0,4)^y = 0,4^{3,5-x}, \\ 2^x \cdot 0,5^y < 1. \end{cases}$

Преобразуем уравнения и неравенство, приводя их к более простому виду.

Первое уравнение: $(0,2^y)^x = 0,008$. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $0,2^{xy} = 0,008$. Представим $0,008$ в виде степени с основанием $0,2$. $0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3 = 0,2^3$. Тогда уравнение примет вид $0,2^{xy} = 0,2^3$. Так как основания равны, то равны и показатели: $xy = 3$.

Второе уравнение: $(0,4)^y = 0,4^{3,5-x}$. Основания уже равны, поэтому приравниваем показатели: $y = 3,5 - x$, или $x+y = 3,5$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} x+y = 3,5 \\ xy = 3 \end{cases}$

Снова воспользуемся теоремой Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 3,5t + 3 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $2t^2 - 7t + 6 = 0$.

Находим корни. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, возможные пары решений $(x, y)$: $(1,5; 2)$ и $(2; 1,5)$.

Рассмотрим третье условие системы: $2^x \cdot 0,5^y < 1$.

Представим $0,5$ как степень с основанием 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $0,5^y = (2^{-1})^y = 2^{-y}$.

Неравенство принимает вид: $2^x \cdot 2^{-y} < 1$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $2^{x-y} < 1$.

Так как $1 = 2^0$, неравенство можно записать как $2^{x-y} < 2^0$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция $f(t)=2^t$ является возрастающей. Значит, неравенство $2^{x-y} < 2^0$ равносильно неравенству $x-y < 0$, или $x < y$.

Проверим оба варианта:

1. Если $(x, y) = (1,5; 2)$, то неравенство $x < y$ принимает вид $1,5 < 2$, что является истинным.

2. Если $(x, y) = (2; 1,5)$, то неравенство $x < y$ принимает вид $2 < 1,5$, что является ложным.

Следовательно, решением системы является только пара $(1,5; 2)$.

Ответ: $(1,5; 2)$.

725. Найти все значения параметра a, при которых система

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3a, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Заметим, что если пара $(x_0, y_0)$ является решением системы, то пара $(-x_0, y_0)$ также является решением. Это следует из того, что переменная $x$ входит в оба уравнения только в виде $|x|$ и $x^2$, а $|-x_0| = |x_0|$ и $(-x_0)^2 = x_0^2$.

Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы это решение было инвариантно относительно замены $x$ на $-x$. То есть, должно выполняться условие $(x_0, y_0) = (-x_0, y_0)$, что возможно только при $x_0 = -x_0$, а значит, $x_0 = 0$.

Таким образом, единственное решение (если оно существует) должно иметь вид $(0, y)$. Подставим $x=0$ во второе уравнение системы:

$0^2 + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = 1$ или $y = -1$.

Следовательно, кандидатами на единственное решение являются пары $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: единственное решение — (0, 1)

Подставим $x=0$ и $y=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$3 \cdot 2^{|0|} + 5|0| + 4 = 3(1) + 5(0)^2 + 3a$

$3 \cdot 2^0 + 0 + 4 = 3 + 0 + 3a$

$3 \cdot 1 + 4 = 3 + 3a$

$7 = 3 + 3a$

$4 = 3a$

$a = \frac{4}{3}$

Теперь проверим, действительно ли при $a = 4/3$ система имеет единственное решение. Подставим это значение $a$ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 3 \cdot \frac{4}{3}, \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Упростим первое уравнение:

$3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 4$

$3y = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2$

Мы знаем, что $(0, 1)$ является решением. Проверим, является ли решением $(0, -1)$:

При $x=0, y=-1$: $3(-1) = 3 \cdot 2^0 + 5 \cdot 0 - 5 \cdot 0^2 \Rightarrow -3 = 3$, что неверно. Значит, $(0, -1)$ не является решением.

Теперь нужно проверить, есть ли решения при $x \neq 0$. Из второго уравнения $x^2+y^2=1$ следует, что $|x| \le 1$ и $y = \pm\sqrt{1-x^2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2$. Поскольку функция четная, достаточно рассмотреть $x \in (0, 1]$. Для таких $x$ имеем $f(x) = 3 \cdot 2^x + 5x - 5x^2$.

Исследуем функцию $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$. $f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3$. $f(1) = 3 \cdot 2^1 + 5 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 6$.

Найдем производную: $f'(x) = 3 \cdot 2^x \ln 2 + 5 - 10x$. $f'(0) = 3\ln 2 + 5 > 0$. $f'(1) = 6\ln 2 - 5 \approx 6 \cdot 0.693 - 5 = 4.158 - 5 < 0$. Так как производная непрерывна и меняет знак на интервале $(0, 1)$, там находится точка максимума. Минимальное значение функции $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$ достигается на одном из концов отрезка. $\min(f(0), f(1)) = \min(3, 6) = 3$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, 1]$ выполняется $f(x) \ge 3$. Тогда из уравнения $3y = f(x)$ следует, что $y = f(x)/3 \ge 1$.

С другой стороны, из второго уравнения $x^2+y^2=1$ следует, что $y \le 1$.

Система неравенств $y \ge 1$ и $y \le 1$ имеет единственное решение $y=1$. Это возможно только при $f(x)/3 = 1$, то есть $f(x)=3$. Как мы выяснили, это достигается только при $x=0$.

Следовательно, при $a=4/3$ система имеет единственное решение $(0, 1)$.

Случай 2: единственное решение — (0, -1)

Подставим $x=0$ и $y=-1$ в первое уравнение системы:

$3 \cdot 2^{|0|} + 5|0| + 4 = 3(-1) + 5(0)^2 + 3a$

$7 = -3 + 3a$

$10 = 3a$

$a = \frac{10}{3}$

Проверим, является ли решение единственным при $a = 10/3$. Система принимает вид:

$3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| + 4 = 3y + 5x^2 + 10$

$3y = 3 \cdot 2^{|x|} + 5|x| - 5x^2 - 6$

Мы знаем, что $(0, -1)$ является решением. Проверим наличие других решений. Например, рассмотрим точку $(1, 0)$, которая удовлетворяет второму уравнению $x^2+y^2=1$.

Подставим $x=1$ и $y=0$ в преобразованное первое уравнение:

$3(0) = 3 \cdot 2^{|1|} + 5|1| - 5(1)^2 - 6$

$0 = 3 \cdot 2 + 5 - 5 - 6$

$0 = 6 - 6 = 0$, что является верным равенством.

Так как $(1, 0)$ является решением, то в силу симметрии и $(-1, 0)$ также является решением. Таким образом, при $a = 10/3$ система имеет как минимум три решения: $(0, -1)$, $(1, 0)$ и $(-1, 0)$. Этот случай нам не подходит.

Единственное значение параметра, при котором система имеет единственное решение, это $a=4/3$.

Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

726. Сравнить числа:

1) $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$;2) $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$;3) $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$;4) $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$.

1) Чтобы сравнить числа $4^{-\sqrt{3}}$ и $4^{-\sqrt{2}}$, мы используем свойства показательной функции $y=a^x$. В данном случае основание $a=4$.

Так как основание $a=4 > 1$, показательная функция $y=4^x$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то $4^{x_1} < 4^{x_2}$.

Теперь сравним показатели степеней: $-\sqrt{3}$ и $-\sqrt{2}$.

Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1,732$ и $\sqrt{2} \approx 1,414$. Следовательно, $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

При умножении обеих частей неравенства на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$.

Поскольку функция возрастающая, то из неравенства для показателей $-\sqrt{3} < -\sqrt{2}$ следует такое же неравенство для значений функции: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

Ответ: $4^{-\sqrt{3}} < 4^{-\sqrt{2}}$.

2) Сравним числа $2^{\sqrt{3}}$ и $2^{1,7}$.

Основание степени $a=2 > 1$, поэтому показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $1,7$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты.

$(\sqrt{3})^2 = 3$

$(1,7)^2 = 2,89$

Поскольку $3 > 2,89$, то и $\sqrt{3} > 1,7$.

Так как функция возрастающая, из $\sqrt{3} > 1,7$ следует, что $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

Ответ: $2^{\sqrt{3}} > 2^{1,7}$.

3) Сравним числа $(\frac{1}{2})^{1,4}$ и $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $1,4$ и $\sqrt{2}$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты.

$(1,4)^2 = 1,96$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Поскольку $1,96 < 2$, то $1,4 < \sqrt{2}$.

Так как функция убывающая, из неравенства для показателей $1,4 < \sqrt{2}$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $(\frac{1}{2})^{1,4} > (\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$.

4) Сравним числа $(\frac{1}{9})^{\pi}$ и $(\frac{1}{9})^{3,14}$.

Основание степени $a = \frac{1}{9}$. Так как $0 < \frac{1}{9} < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{9})^x$ является убывающей. Большему значению показателя соответствует меньшее значение степени.

Сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,14$.

Число $\pi$ — это иррациональное число, значение которого приблизительно равно $3,14159...$. Таким образом, $\pi > 3,14$.

Поскольку функция убывающая, из неравенства для показателей $\pi > 3,14$ следует противоположное по знаку неравенство для значений функции: $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.

Ответ: $(\frac{1}{9})^{\pi} < (\frac{1}{9})^{3,14}$.

727. Сравнить с единицей число:

1) $2^{-\sqrt{5}}$;

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$;

3) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$;

4) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$.

Для сравнения степенных выражений с единицей используются следующие свойства показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то:
  • при $x > 0$ значение $a^x > 1$;
  • при $x < 0$ значение $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то:
  • при $x > 0$ значение $a^x < 1$;
  • при $x < 0$ значение $a^x > 1$.
• При любом $a > 0, a \ne 1$ и $x = 0$ значение $a^x = a^0 = 1$.

Применим эти правила для каждого случая.

1) Сравнить $2^{-\sqrt{5}}$ с 1.
Основание степени $a = 2$. Так как $2 > 1$, мы имеем дело с возрастающей показательной функцией.
Показатель степени $x = -\sqrt{5}$. Поскольку $\sqrt{5} > 0$, то показатель $-\sqrt{5} < 0$.
Для основания $a > 1$ и отрицательного показателя $x < 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $2^{-\sqrt{5}} < 1$.
Ответ: $2^{-\sqrt{5}} < 1$.

2) Сравнить $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, мы имеем дело с убывающей показательной функцией.
Показатель степени $x = \sqrt{3}$. Поскольку $3 > 0$, показатель $\sqrt{3} > 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и положительного показателя $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.

3) Сравнить $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{\pi}{4}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем, что $\pi < 4$, и, следовательно, $0 < \frac{\pi}{4} < 1$. Показательная функция является убывающей.
Показатель степени $x = \sqrt{5}-2$. Чтобы определить его знак, сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Значит, показатель $\sqrt{5}-2 > 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и положительного показателя $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.

4) Сравнить $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, мы имеем дело с убывающей показательной функцией.
Показатель степени $x = \sqrt{8}-3$. Чтобы определить его знак, сравним $\sqrt{8}$ и $3$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{8})^2 = 8$ и $3^2 = 9$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < 3$. Значит, показатель $\sqrt{8}-3 < 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и отрицательного показателя $x < 0$ выполняется неравенство $a^x > 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.

728. (Устно.) Установить, является ли функция возрастающей или убывающей:

1) $y = 0,78^x$;

2) $y = 1,69^x$;

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$;

4) $y = 4^{-x}$.

Для определения, является ли показательная функция вида $y = a^x$ возрастающей или убывающей, необходимо проанализировать ее основание $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей на всей области определения.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей на всей области определения.

1) В функции $y = 0,78^x$ основание $a = 0,78$. Так как $0 < 0,78 < 1$, то функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

2) В функции $y = 1,69^x$ основание $a = 1,69$. Так как $1,69 > 1$, то функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

3) Для функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x}$ необходимо сначала преобразовать ее, используя свойства степеней: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{-x} = (2^{-1})^{-x} = 2^{(-1) \cdot (-x)} = 2^x$. Теперь функция представлена в виде $y = a^x$ с основанием $a = 2$. Так как $a = 2 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: возрастающая.

4) Для функции $y = 4^{-x}$ также выполним преобразование: $y = 4^{-x} = (4^{-1})^x = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Теперь функция представлена в виде $y = a^x$ с основанием $a = \frac{1}{4}$. Так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: убывающая.

729. Выяснить, в каком промежутке находятся значения функции при $x \in [-1; 2]$:

1) $y = 5^x$;

2) $y = 5^{-x}$.

1)

Рассмотрим функцию $y = 5^x$ на промежутке $x \in [-1; 2]$.

Это показательная функция с основанием $a = 5$. Так как основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ будет достигаться в его левой точке, то есть при $x = -1$.

$y_{наим} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Наибольшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в его правой точке, то есть при $x = 2$.

$y_{наиб} = 5^2 = 25$

Таким образом, значения функции находятся в промежутке от $\frac{1}{5}$ до $25$, включая концы.

Ответ: $y \in [\frac{1}{5}; 25]$

2)

Рассмотрим функцию $y = 5^{-x}$ на промежутке $x \in [-1; 2]$.

Эту функцию можно представить в виде $y = (\frac{1}{5})^x$.

Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{5}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 2]$ будет достигаться в его левой точке, то есть при $x = -1$.

$y_{наиб} = 5^{-(-1)} = 5^1 = 5$

Наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в его правой точке, то есть при $x = 2$.

$y_{наим} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

Таким образом, значения функции находятся в промежутке от $\frac{1}{25}$ до $5$, включая концы.

Ответ: $y \in [\frac{1}{25}; 5]$

Решить уравнение (730—732).

730.

1) $1,5^{5x-7} = \left(\frac{2}{3}\right)^{x+1}$;

2) $0,75^{2x-3} = \left(1\frac{1}{3}\right)^{5-x}$;

3) $5^{x^2-5x-6} = 1$;

4) $\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7}$.

1) Исходное уравнение: $1.5^{5x-7} = (\frac{2}{3})^{x+1}$.
Чтобы решить показательное уравнение, приведем обе его части к одному основанию.
Представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной: $1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Заметим, что основание в правой части является обратным к новому основанию в левой: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
Подставим преобразованные значения в уравнение:
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = ((\frac{3}{2})^{-1})^{x+1}$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = (\frac{3}{2})^{-(x+1)}$
$(\frac{3}{2})^{5x-7} = (\frac{3}{2})^{-x-1}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$5x - 7 = -x - 1$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$5x + x = 7 - 1$
$6x = 6$
$x = 1$

Ответ: $1$.

2) Исходное уравнение: $0.75^{2x-3} = (1\frac{1}{3})^{5-x}$.
Приведем основания к одному виду. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:
$0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Основания $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{3}$ являются взаимно обратными числами, т.е. $\frac{3}{4} = (\frac{4}{3})^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$((\frac{4}{3})^{-1})^{2x-3} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
Упростим левую часть:
$(\frac{4}{3})^{-(2x-3)} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
$(\frac{4}{3})^{-2x+3} = (\frac{4}{3})^{5-x}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2x + 3 = 5 - x$
Решаем линейное уравнение:
$2x - x = 3 - 5$
$x = -2$

Ответ: $-2$.

3) Исходное уравнение: $5^{x^2-5x-6} = 1$.
Представим число $1$ в правой части как степень с основанием $5$. Так как любое ненулевое число в степени $0$ равно $1$, то $1 = 5^0$.
Уравнение принимает вид:
$5^{x^2-5x-6} = 5^0$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 6$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{1}{7})^{x^2-2x-2} = \frac{1}{7}$.
Основания в левой и правой частях уравнения уже равны. Представим правую часть в виде степени: $\frac{1}{7} = (\frac{1}{7})^1$.
Получаем уравнение:
$(\frac{1}{7})^{x^2-2x-2} = (\frac{1}{7})^1$
Приравниваем показатели степеней:
$x^2 - 2x - 2 = 1$
Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 2 - 1 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-1$.
Или через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^2$
$x_1 = \frac{-(-2) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-2) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $-1; 3$.

731. 1) $2^x + 2^{x-3} = 18;$

2) $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13;$

3) $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9;$

4) $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0.$

Решим уравнение $2^x + 2^{x-3} = 18$.

Для начала преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 18$

Теперь вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 18$

Вычислим значение в скобках:

$1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$

Уравнение принимает вид:

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 18$

Чтобы найти $2^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{8}{9}$:

$2^x = 18 \cdot \frac{8}{9}$

$2^x = \frac{18 \cdot 8}{9} = 2 \cdot 8 = 16$

Теперь, когда мы имеем $2^x = 16$, представим 16 как степень двойки:

$16 = 2^4$

Следовательно, $2^x = 2^4$, откуда получаем, что $x=4$.

Ответ: $4$.

Решим уравнение $3^x + 4 \cdot 3^{x+1} = 13$.

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

Подставим это в исходное уравнение:

$3^x + 4 \cdot (3 \cdot 3^x) = 13$

$3^x + 12 \cdot 3^x = 13$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (1 + 12) = 13$

$3^x \cdot 13 = 13$

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^x = 1$

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому мы можем записать 1 как $3^0$.

$3^x = 3^0$

Приравнивая показатели степени, получаем $x=0$.

Ответ: $0$.

Решим уравнение $2 \cdot 3^{x+1} - 6 \cdot 3^{x-1} - 3^x = 9$.

Преобразуем члены уравнения, содержащие $x$ в показателе степени, используя свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = \frac{3^x}{3^1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим эти выражения в уравнение:

$2 \cdot (3 \cdot 3^x) - 6 \cdot \left(\frac{3^x}{3}\right) - 3^x = 9$

Упростим полученное выражение:

$6 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x - 1 \cdot 3^x = 9$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (6 - 2 - 1) = 9$

Вычислим значение в скобках:

$3^x \cdot 3 = 9$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3^x = 3$

Так как $3 = 3^1$, то $3^x = 3^1$.

Приравнивая показатели степени, находим $x=1$.

Ответ: $1$.

Решим уравнение $5^{x+1} + 3 \cdot 5^{x-1} - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$.

Сначала преобразуем степени с основанием 5:

$5^{x+1} = 5^x \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^x$

$5^{x-1} = \frac{5^x}{5^1} = \frac{5^x}{5}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$5 \cdot 5^x + 3 \cdot \left(\frac{5^x}{5}\right) - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$

$5 \cdot 5^x + \frac{3}{5} \cdot 5^x - 6 \cdot 5^x + 10 = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x \left(5 + \frac{3}{5} - 6\right) + 10 = 0$

Вычислим выражение в скобках:

$5 - 6 + \frac{3}{5} = -1 + \frac{3}{5} = -\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5}$

Уравнение примет вид:

$5^x \left(-\frac{2}{5}\right) + 10 = 0$

Перенесем 10 в правую часть:

$5^x \left(-\frac{2}{5}\right) = -10$

Теперь найдем $5^x$:

$5^x = -10 \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)$

$5^x = \frac{10 \cdot 5}{2} = 5 \cdot 5 = 25$

Мы получили $5^x = 25$. Представим 25 как степень пятерки:

$25 = 5^2$

Значит, $5^x = 5^2$, откуда $x=2$.

Ответ: $2$.

732. 1) $5^{2x} - 5^x - 600 = 0;$

2) $9^x - 3^x - 6 = 0;$

3) $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0;$

4) $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0.$

Дано показательное уравнение $5^{2x} - 5^x - 600 = 0$.
Данное уравнение можно свести к квадратному, используя замену переменной. Заметим, что $5^{2x}$ можно представить как $(5^x)^2$.
Введем новую переменную: пусть $t = 5^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения: $t^2 - t - 600 = 0$.
Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{2401} = 49$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 25$ удовлетворяет условию ($25 > 0$).
$t_2 = -24$ не удовлетворяет условию ($-24 < 0$), поэтому этот корень является посторонним.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 25$:
$5^x = 25$.
Представим число 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.
$5^x = 5^2$.
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 2$.
Ответ: $x=2$.

Дано показательное уравнение $9^x - 3^x - 6 = 0$.
Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Условие для новой переменной: $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t^2 - t - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-6$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3$.
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2$.
Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 > 0$).
$t_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), значит, это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной $x$ для $t_1 = 3$:
$3^x = 3$.
Поскольку $3 = 3^1$, получаем:
$3^x = 3^1$.
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $x=1$.

Дано показательное уравнение $3^x + 9^{x-1} - 810 = 0$.
Приведем все степени к одному основанию 3. Используем свойства степеней:
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{(3^x)^2}{9}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$3^x + \frac{(3^x)^2}{9} - 810 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Уравнение примет вид: $t + \frac{t^2}{9} - 810 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$9t + t^2 - 7290 = 0$.
Запишем в стандартном виде: $t^2 + 9t - 7290 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7290) = 81 + 29160 = 29241$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{29241} = 171$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-9 + 171}{2} = \frac{162}{2} = 81$.
$t_2 = \frac{-9 - 171}{2} = \frac{-180}{2} = -90$.
Проверим корни по условию $t > 0$.
$t_1 = 81$ подходит ($81 > 0$).
$t_2 = -90$ не подходит ($-90 < 0$).
Выполним обратную замену для $t_1=81$:
$3^x = 81$.
Представим 81 как степень с основанием 3: $81 = 3^4$.
$3^x = 3^4$.
Отсюда $x = 4$.
Ответ: $x=4$.

Дано показательное уравнение $4^x + 2^{x+1} - 80 = 0$.
Преобразуем члены уравнения, чтобы привести их к одному основанию 2:
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$.
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 80 = 0$.
Введем замену: пусть $t = 2^x$, с условием $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 80 = 0$.
Решим его. По теореме Виета: сумма корней равна $-2$, произведение равно $-80$. Это числа $8$ и $-10$.
$t_1 = 8$, $t_2 = -10$.
Проверим корни с учетом условия $t > 0$.
$t_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > 0$).
$t_2 = -10$ не удовлетворяет условию ($-10 < 0$), является посторонним корнем.
Сделаем обратную замену для $t_1 = 8$:
$2^x = 8$.
Представим 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$.
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x=3$.

733. Решить неравенство:

1) $3^{x-2} > 9$;

2) $5^{2x} < \frac{1}{25}$;

3) $0.7^{x^2 + 2x} < 0.7^3$;

4) $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$.

1) $3^{x-2} > 9$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Правая часть неравенства $9$ может быть представлена как $3^2$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$3^{x-2} > 3^2$

Так как основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется. Переходим к неравенству для показателей:

$x - 2 > 2$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 2 + 2$

$x > 4$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $5^{2x} < \frac{1}{25}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$, следовательно, дробь $\frac{1}{25}$ можно записать как $\frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Неравенство приобретает вид:

$5^{2x} < 5^{-2}$

Основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), поэтому показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства не меняется:

$2x < -2$

Разделим обе части на 2:

$x < -1$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

3) $0.7^{x^2+2x} < 0.7^3$

В этом неравенстве обе части уже имеют одинаковое основание $a = 0.7$.

Так как основание степени $a=0.7$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < 0.7 < 1$), показательная функция $y=0.7^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 + 2x > 3$

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < -3$ или $x > 1$.

Запишем ответ в виде объединения интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

4) $(\frac{1}{3})^{x^2} > \frac{1}{81}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{3}$. Число 81 это $3^4$, значит $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{3})^{x^2} > (\frac{1}{3})^4$

Основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале ($0 < \frac{1}{3} < 1$), поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к показателям степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < 4$

Решим это квадратное неравенство. Перенесем 4 в левую часть:

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) < 0$

Корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$ это $x=2$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство со знаком "меньше" выполняется между корнями.

Таким образом, $-2 < x < 2$.

Запишем ответ в виде интервала.

Ответ: $x \in (-2, 2)$.

734. Решить графически уравнение:

1) $2^{-x} = 3x + 10;$

2) $(\frac{1}{3})^x = 2x + 5.$

1) $2^{-x} = 3x + 10$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2^{-x}$ и $y = 3x + 10$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = 2^{-x}$. Эту функцию можно записать как $y = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Составим таблицу значений:

• При $x = -3$, $y = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8$.
• При $x = -2$, $y = 2^{-(-2)} = 2^2 = 4$.
• При $x = -1$, $y = 2^{-(-1)} = 2^1 = 2$.
• При $x = 0$, $y = 2^0 = 1$.
• При $x = 1$, $y = 2^{-1} = 0.5$.

2. Построим график функции $y = 3x + 10$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = -3$, $y = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1$.
• При $x = -2$, $y = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4$.

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются. Из таблиц значений видно, что при $x = -2$ значения обеих функций совпадают и равны 4. Таким образом, точка $(-2, 4)$ является точкой пересечения графиков.

Функция $y = 2^{-x}$ является монотонно убывающей, а функция $y = 3x + 10$ является монотонно возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -2$.

2) $(\frac{1}{3})^x = 2x + 5$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 2x + 5$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Составим таблицу значений:

• При $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.
• При $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$.
• При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$.
• При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

2. Построим график функции $y = 2x + 5$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = -2$, $y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.
• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3$.

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Из таблиц значений видно, что при $x = -1$ значения обеих функций совпадают и равны 3. Таким образом, точка $(-1, 3)$ является точкой пересечения графиков.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является монотонно убывающей, а функция $y = 2x + 5$ является монотонно возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -1$.