Номер 727, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

727. Сравнить с единицей число:

1) $2^{-\sqrt{5}}$;

2) $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$;

3) $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$;

4) $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$.

Для сравнения степенных выражений с единицей используются следующие свойства показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то:
  • при $x > 0$ значение $a^x > 1$;
  • при $x < 0$ значение $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то:
  • при $x > 0$ значение $a^x < 1$;
  • при $x < 0$ значение $a^x > 1$.
• При любом $a > 0, a \ne 1$ и $x = 0$ значение $a^x = a^0 = 1$.

Применим эти правила для каждого случая.

1) Сравнить $2^{-\sqrt{5}}$ с 1.
Основание степени $a = 2$. Так как $2 > 1$, мы имеем дело с возрастающей показательной функцией.
Показатель степени $x = -\sqrt{5}$. Поскольку $\sqrt{5} > 0$, то показатель $-\sqrt{5} < 0$.
Для основания $a > 1$ и отрицательного показателя $x < 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $2^{-\sqrt{5}} < 1$.
Ответ: $2^{-\sqrt{5}} < 1$.

2) Сравнить $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, мы имеем дело с убывающей показательной функцией.
Показатель степени $x = \sqrt{3}$. Поскольку $3 > 0$, показатель $\sqrt{3} > 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и положительного показателя $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{3}} < 1$.

3) Сравнить $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{\pi}{4}$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем, что $\pi < 4$, и, следовательно, $0 < \frac{\pi}{4} < 1$. Показательная функция является убывающей.
Показатель степени $x = \sqrt{5}-2$. Чтобы определить его знак, сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$. Значит, показатель $\sqrt{5}-2 > 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и положительного показателя $x > 0$ выполняется неравенство $a^x < 1$.
Следовательно, $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{\sqrt{5}-2} < 1$.

4) Сравнить $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3}$ с 1.
Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, мы имеем дело с убывающей показательной функцией.
Показатель степени $x = \sqrt{8}-3$. Чтобы определить его знак, сравним $\sqrt{8}$ и $3$. Сравним их квадраты: $(\sqrt{8})^2 = 8$ и $3^2 = 9$. Так как $8 < 9$, то $\sqrt{8} < 3$. Значит, показатель $\sqrt{8}-3 < 0$.
Для основания $0 < a < 1$ и отрицательного показателя $x < 0$ выполняется неравенство $a^x > 1$.
Следовательно, $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\sqrt{8}-3} > 1$.