Номер 734, страница 236 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

734. Решить графически уравнение:

1) $2^{-x} = 3x + 10;$

2) $(\frac{1}{3})^x = 2x + 5.$

1) $2^{-x} = 3x + 10$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2^{-x}$ и $y = 3x + 10$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = 2^{-x}$. Эту функцию можно записать как $y = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Составим таблицу значений:

• При $x = -3$, $y = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8$.
• При $x = -2$, $y = 2^{-(-2)} = 2^2 = 4$.
• При $x = -1$, $y = 2^{-(-1)} = 2^1 = 2$.
• При $x = 0$, $y = 2^0 = 1$.
• При $x = 1$, $y = 2^{-1} = 0.5$.

2. Построим график функции $y = 3x + 10$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = -3$, $y = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1$.
• При $x = -2$, $y = 3(-2) + 10 = -6 + 10 = 4$.

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются. Из таблиц значений видно, что при $x = -2$ значения обеих функций совпадают и равны 4. Таким образом, точка $(-2, 4)$ является точкой пересечения графиков.

Функция $y = 2^{-x}$ является монотонно убывающей, а функция $y = 3x + 10$ является монотонно возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -2$.

2) $(\frac{1}{3})^x = 2x + 5$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 2x + 5$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет являться решением уравнения.

1. Построим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция, основание которой $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Составим таблицу значений:

• При $x = -2$, $y = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.
• При $x = -1$, $y = (\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$.
• При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$.
• При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

2. Построим график функции $y = 2x + 5$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек:

• При $x = -2$, $y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.
• При $x = -1$, $y = 2(-1) + 5 = -2 + 5 = 3$.

3. Построим оба графика на одной координатной плоскости. Из таблиц значений видно, что при $x = -1$ значения обеих функций совпадают и равны 3. Таким образом, точка $(-1, 3)$ является точкой пересечения графиков.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ является монотонно убывающей, а функция $y = 2x + 5$ является монотонно возрастающей. Это означает, что их графики могут пересечься не более одного раза. Следовательно, найденное решение является единственным.

Ответ: $x = -1$.