Номер 740, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

740. $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x - \frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1};$

2) $2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 + 2^{\sqrt{x}-1};$

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4;$

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0.$

1) $2 \cdot 3^{3x-1} + 27^{x-\frac{2}{3}} = 9^{x-1} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его члены к одному основанию, в данном случае к 3.

Преобразуем степени с основаниями 27 и 9:
$27^{x-\frac{2}{3}} = (3^3)^{x-\frac{2}{3}} = 3^{3(x-\frac{2}{3})} = 3^{3x-2}$
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)} = 3^{2x-2}$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$2 \cdot 3^{3x-1} + 3^{3x-2} = 3^{2x-2} + 2 \cdot 3^{2x-1}$

Теперь воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$:

$2 \cdot 3^{3x} \cdot 3^{-1} + 3^{3x} \cdot 3^{-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} + 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-1}$

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3x} + \frac{1}{9} \cdot 3^{3x} = \frac{1}{9} \cdot 3^{2x} + \frac{2}{3} \cdot 3^{2x}$

Вынесем общие множители $3^{3x}$ и $3^{2x}$ за скобки:

$3^{3x} \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{9}\right) = 3^{2x} \left(\frac{1}{9} + \frac{2}{3}\right)$

Вычислим значения в скобках:

$\frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$

Уравнение принимает вид:

$3^{3x} \cdot \frac{7}{9} = 3^{2x} \cdot \frac{7}{9}$

Разделим обе части уравнения на $\frac{7}{9}$:

$3^{3x} = 3^{2x}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3x = 2x$

$3x - 2x = 0$

$x = 0$

Ответ: 0.

2) $2^{\sqrt{x}+2} - 2^{\sqrt{x}+1} = 12 + 2^{\sqrt{x}-1}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$2^{\sqrt{x}} \cdot 2^2 - 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^1 = 12 + 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^{-1}$

$4 \cdot 2^{\sqrt{x}} - 2 \cdot 2^{\sqrt{x}} = 12 + \frac{1}{2} \cdot 2^{\sqrt{x}}$

Введем замену. Пусть $y = 2^{\sqrt{x}}$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.

Запишем уравнение с новой переменной:

$4y - 2y = 12 + \frac{1}{2}y$

$2y = 12 + \frac{1}{2}y$

Перенесем все члены с $y$ в левую часть:

$2y - \frac{1}{2}y = 12$

$\frac{3}{2}y = 12$

$y = 12 \cdot \frac{2}{3}$

$y = 8$

Значение $y=8$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной:

$2^{\sqrt{x}} = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^{\sqrt{x}} = 2^3$

Приравниваем показатели:

$\sqrt{x} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 9$

Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 \ge 0$).

Ответ: 9.

3) $22 \cdot 9^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^{x+3} + \frac{1}{3} \cdot 3^{x+2} = 4$

Приведем все степени к основанию 3:

$22 \cdot (3^2)^{x-1} - \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^3 + \frac{1}{3} \cdot 3^x \cdot 3^2 = 4$

$22 \cdot 3^{2x-2} - \frac{27}{3} \cdot 3^x + \frac{9}{3} \cdot 3^x = 4$

$22 \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2} - 9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 4$

$\frac{22}{9} \cdot (3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 4 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, $y>0$.

$\frac{22}{9}y^2 - 6y - 4 = 0$

Умножим уравнение на 9, чтобы избавиться от знаменателя:

$22y^2 - 54y - 36 = 0$

Для удобства разделим все члены на 2:

$11y^2 - 27y - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-18) = 729 + 792 = 1521$

Корень из дискриминанта $\sqrt{1521} = 39$.

Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{27 + 39}{2 \cdot 11} = \frac{66}{22} = 3$

$y_2 = \frac{27 - 39}{2 \cdot 11} = \frac{-12}{22} = -\frac{6}{11}$

Согласно условию $y>0$, корень $y_2 = -\frac{6}{11}$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y_1=3$:

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$

Ответ: 1.

4) $5 \cdot 4^{x-1} - 16^x + 0.25 \cdot 2^{2x+2} + 7 = 0$

Приведем все члены уравнения к одному основанию, например, к 4. Для этого используем следующие преобразования: $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$; $0.25 = \frac{1}{4}$; $2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = (2^2)^x \cdot 4 = 4^x \cdot 4$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$5 \cdot 4^x \cdot 4^{-1} - (4^x)^2 + \frac{1}{4} \cdot (4^x \cdot 4) + 7 = 0$

$\frac{5}{4} \cdot 4^x - (4^x)^2 + 4^x + 7 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 4^x$. Так как $4^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.

$\frac{5}{4}y - y^2 + y + 7 = 0$

Сгруппируем члены с $y$ и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:

$-y^2 + \left(\frac{5}{4} + 1\right)y + 7 = 0$

$-y^2 + \frac{9}{4}y + 7 = 0$

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дроби и сменить знак у старшего коэффициента:

$4y^2 - 9y - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-28) = 81 + 448 = 529$

Корень из дискриминанта $\sqrt{529} = 23$.

Найдем корни $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{9 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{9 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$

Поскольку $y>0$, корень $y_2 = -\frac{7}{4}$ не подходит.

Выполним обратную замену для $y_1 = 4$:

$4^x = 4$

$4^x = 4^1$

$x = 1$

Ответ: 1.