Номер 744, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

744. Выяснить, равносильны ли неравенства:

1) $2^x > -2$ и $2^{2x} > 4$;

2) $2^x < \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} < x+1$;

3) $2^x > \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} > x+1$.

1) $2^x > -2$ и $2^{2x} > 4$

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое неравенство: $2^x > -2$. Показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$. Область значений функции $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, неравенство $2^x > -2$ выполняется для любого действительного числа $x$. Множество решений первого неравенства: $(-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} > 4$. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Неравенство принимает вид: $2^{2x} > 2^2$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $2x > 2$ $x > 1$ Множество решений второго неравенства: $(1; +\infty)$.

Сравним множества решений: $(-\infty; +\infty) \neq (1; +\infty)$. Так как множества решений не совпадают, неравенства не являются равносильными.

Ответ: неравенства не равносильны.

2) $2^x < \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} < x+1$

Рассмотрим первое неравенство: $2^x < \sqrt{x+1}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. На ОДЗ левая часть неравенства $2^x$ всегда положительна, а правая часть $\sqrt{x+1}$ всегда неотрицательна. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства. Это преобразование будет равносильным на ОДЗ. $(2^x)^2 < (\sqrt{x+1})^2$ $2^{2x} < x+1$ Таким образом, первое неравенство равносильно системе: $\begin{cases} 2^{2x} < x+1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} < x+1$. Левая часть этого неравенства $2^{2x}$ всегда положительна. Следовательно, для выполнения неравенства правая часть также должна быть положительной: $x+1 > 2^{2x} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$. Это означает, что любое решение второго неравенства автоматически удовлетворяет условию $x > -1$, а значит и условию $x \ge -1$. Следовательно, множество решений второго неравенства совпадает с множеством решений системы, полученной из первого неравенства.

Поскольку оба неравенства приводятся к одной и той же системе условий (явно или неявно), их множества решений совпадают.

Ответ: неравенства равносильны.

3) $2^x > \sqrt{x+1}$ и $2^{2x} > x+1$

Рассмотрим первое неравенство: $2^x > \sqrt{x+1}$. Его ОДЗ: $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. На этой области обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести обе части в квадрат: $(2^x)^2 > (\sqrt{x+1})^2$ $2^{2x} > x+1$ Следовательно, первое неравенство равносильно системе: $\begin{cases} 2^{2x} > x+1 \\ x \ge -1 \end{cases}$ Множество решений первого неравенства — это все решения второго неравенства, которые удовлетворяют условию $x \ge -1$.

Рассмотрим второе неравенство: $2^{2x} > x+1$. ОДЗ для этого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$. Проверим, есть ли у второго неравенства решения, не входящие в ОДЗ первого. Возьмем, например, $x = -2$. Это значение не удовлетворяет условию $x \ge -1$. Подставим $x=-2$ во второе неравенство: $2^{2(-2)} > -2+1$ $2^{-4} > -1$ $\frac{1}{16} > -1$ Это верное неравенство. Значит, $x=-2$ является решением второго неравенства.

Однако $x=-2$ не входит в ОДЗ первого неравенства $2^x > \sqrt{x+1}$, так как при $x=-2$ выражение $\sqrt{x+1}$ не определено. Поскольку существует хотя бы одно решение второго неравенства, которое не является решением первого, множества их решений не совпадают.

Ответ: неравенства не равносильны.