Номер 751, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

751. Решить уравнение

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4.$

Заметим, что основания степеней в уравнении $(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 4$ являются взаимно обратными числами. Проверим это, найдя их произведение:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2-\sqrt{3}}) = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1$.

Так как произведение равно 1, то $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x$. Поскольку основание степени $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ положительно, то и $t$ должно быть положительным ($t > 0$).

Тогда второе слагаемое уравнения можно выразить через $t$:

$(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}\right)^x = \frac{1}{(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в исходное уравнение, оно примет вид:

$t + \frac{1}{t} = 4$.

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $t$ (это допустимо, так как $t \neq 0$) и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 1 = 4t$

$t^2 - 4t + 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью формулы для нахождения корней:

$t = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Мы получили два возможных значения для $t$: $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$. Оба эти значения положительны, поэтому удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

1. Если $t = 2 + \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 + \sqrt{3}$.

Представим левую часть как степень с основанием $(2+\sqrt{3})$:

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^1$.

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$\frac{x}{2} = 1 \implies x = 2$.

2. Если $t = 2 - \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2 - \sqrt{3}$.

Ранее мы установили, что $2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$. Подставим это выражение в уравнение:

$(2+\sqrt{3})^{x/2} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$\frac{x}{2} = -1 \implies x = -2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -2; x = 2$.