Номер 4, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Привести пример реального явления (процесса), которое можно описать показательной функцией.

Показательная функция используется для моделирования процессов, в которых скорость изменения некоторой величины пропорциональна значению самой этой величины. Это приводит к экспоненциальному росту (если величина увеличивается) или экспоненциальному убыванию (если величина уменьшается). Ниже приведены примеры таких процессов.

Рост популяции

В идеальных условиях с неограниченными ресурсами (пища, пространство) рост популяции живых организмов, например, бактерий, можно описать показательной функцией. Скорость размножения пропорциональна текущей численности популяции: чем больше особей, тем больше потомства они производят за единицу времени.

Представим, что колония бактерий удваивается каждый час. Если в начальный момент времени ($t=0$) было $N_0$ бактерий, то через час их станет $2N_0$, через два часа — $4N_0$, и так далее. Зависимость числа бактерий $N$ от времени $t$ выражается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^t$

где $N_0$ — начальная численность популяции, а $t$ — время в часах. В общем виде функция экспоненциального роста имеет вид $y(x) = A \cdot a^x$, где основание степени $a > 1$.

Радиоактивный распад

Процесс распада нестабильных атомных ядер является классическим примером экспоненциального убывания. Скорость распада в любой момент времени пропорциональна количеству еще не распавшихся ядер. Этот процесс характеризуется периодом полураспада ($T$) — временем, за которое распадается половина от исходного числа радиоактивных ядер.

Например, период полураспада изотопа углерод-14 ($^{14}C$) составляет примерно 5730 лет. Это означает, что любое количество $^{14}C$ уменьшится вдвое за этот срок. Масса $m$ вещества, оставшегося через время $t$, описывается функцией:

$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $m_0$ — начальная масса вещества, $t$ — прошедшее время, $T$ — период полураспада. Здесь основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, что характерно для экспоненциального убывания.

Сложный процент

В финансовой математике рост банковского вклада с начислением сложных процентов также описывается показательной функцией. При использовании схемы сложных процентов начисленный доход прибавляется к основной сумме, и в следующем периоде проценты начисляются уже на новую, увеличенную сумму.

Сумма на счете ($S$) через $n$ лет вычисляется по формуле:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где $P$ — первоначальный вклад (принципал), $r$ — годовая процентная ставка (в долях от единицы), $n$ — количество лет. Сумма вклада растет экспоненциально с течением времени.

Ответ: Примерами реальных явлений, описываемых показательной функцией, являются рост популяции бактерий в идеальных условиях (экспоненциальный рост), радиоактивный распад (экспоненциальное убывание) и капитализация процентов по банковскому вкладу (сложный процент).