Номер 9, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Что понимается под заданием:

1) решить систему уравнений с двумя неизвестными;

2) решить систему неравенств с двумя неизвестными?

1) решить систему уравнений с двумя неизвестными

Решить систему уравнений с двумя неизвестными, например $x$ и $y$, означает найти все упорядоченные пары чисел $(x_0, y_0)$, которые при подстановке в каждое уравнение системы одновременно обращают их в верные числовые равенства.

Например, рассмотрим систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $
Пара чисел $(3, 2)$ является решением этой системы, так как при подстановке $x=3$ и $y=2$ оба уравнения становятся верными равенствами:
$3 + 2 = 5$ (верно)
$2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$ (верно)

Процесс решения заключается в нахождении всех таких пар. Система может иметь:

• Единственное решение (одна пара чисел), как в примере выше. Геометрически это соответствует пересечению графиков уравнений в одной точке.
• Бесконечно много решений. Это происходит, когда уравнения в системе эквивалентны (например, одно получается из другого умножением на число). Геометрически графики уравнений совпадают.
• Не иметь решений. Это происходит, когда уравнения противоречат друг другу. Геометрически графики уравнений параллельны и не пересекаются.

Таким образом, "решить систему" — это найти полное множество её решений или доказать, что решений нет.

Ответ: Решить систему уравнений с двумя неизвестными — это значит найти все упорядоченные пары чисел, которые являются решением каждого из уравнений системы, или установить, что таких пар не существует.

2) решить систему неравенств с двумя неизвестными

Решить систему неравенств с двумя неизвестными, например $x$ и $y$, означает найти все упорядоченные пары чисел $(x_0, y_0)$, которые при подстановке в каждое неравенство системы одновременно обращают их в верные числовые неравенства.

Совокупность всех таких пар называется множеством решений системы неравенств. В отличие от систем уравнений, где решение часто представляет собой одну или несколько точек, решение системы неравенств с двумя переменными — это, как правило, некоторая область на координатной плоскости.

Например, рассмотрим систему: $ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $
Решением этой системы являются все пары чисел $(x, y)$, у которых и $x$, и $y$ — положительные числа. Геометрически это соответствует всем точкам, лежащим в первой координатной четверти. Любая точка из этой области, например $(1, 3)$, является решением системы, так как $1 > 0$ и $3 > 0$. Точка $(-1, 2)$ не является решением, так как $-1 > 0$ — неверно.

Таким образом, "решить систему неравенств" — это описать или графически изобразить множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют всем неравенствам системы. Если таких точек не существует, система не имеет решений.

Ответ: Решить систему неравенств с двумя неизвестными — это значит найти множество всех упорядоченных пар чисел, удовлетворяющих каждому неравенству системы, или установить, что это множество пусто. Обычно это множество является областью на координатной плоскости.