Страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

8. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что $0,5^x > 0$?

Утверждение, что $0.5^x > 0$, основывается на одном из фундаментальных свойств показательной функции — её области значений.

Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где основание $a$ — это положительное число, не равное единице ($a > 0$, $a \neq 1$), а показатель $x$ — любое действительное число. В заданном выражении $0.5^x$ основание $a = 0.5$, что полностью соответствует определению показательной функции.

Одно из главных свойств любой показательной функции $y = a^x$ заключается в том, что её область значений — это множество всех положительных действительных чисел. Это означает, что какие бы действительные значения ни принимал показатель $x$, результат функции $y$ всегда будет строго больше нуля. Математически это записывается так: $E(y) = (0; +\infty)$.

Это можно объяснить тем, что возведение положительного числа ($a=0.5$) в любую степень (положительную, отрицательную или равную нулю) всегда дает в результате положительное число.

• Если $x > 0$ (например, $x=2$), то $0.5^2 = 0.25 > 0$.
• Если $x = 0$, то $0.5^0 = 1 > 0$.
• Если $x < 0$ (например, $x=-2$), то $0.5^{-2} = (1/2)^{-2} = 2^2 = 4 > 0$.

Графически это свойство проявляется в том, что график любой показательной функции, включая $y=0.5^x$, полностью расположен в верхней полуплоскости, то есть выше оси абсцисс (Ox). Ось Ox является горизонтальной асимптотой для графика, к которой он бесконечно приближается, но никогда её не пересекает.

Следовательно, именно на основании свойства об области значений показательной функции можно утверждать, что $0.5^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Утверждение $0.5^x > 0$ основано на свойстве показательной функции, согласно которому её область значений есть множество всех положительных действительных чисел $(0; +\infty)$.

9. Что понимается под заданием:

1) решить систему уравнений с двумя неизвестными;

2) решить систему неравенств с двумя неизвестными?

1) решить систему уравнений с двумя неизвестными

Решить систему уравнений с двумя неизвестными, например $x$ и $y$, означает найти все упорядоченные пары чисел $(x_0, y_0)$, которые при подстановке в каждое уравнение системы одновременно обращают их в верные числовые равенства.

Например, рассмотрим систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases} $
Пара чисел $(3, 2)$ является решением этой системы, так как при подстановке $x=3$ и $y=2$ оба уравнения становятся верными равенствами:
$3 + 2 = 5$ (верно)
$2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$ (верно)

Процесс решения заключается в нахождении всех таких пар. Система может иметь:

• Единственное решение (одна пара чисел), как в примере выше. Геометрически это соответствует пересечению графиков уравнений в одной точке.
• Бесконечно много решений. Это происходит, когда уравнения в системе эквивалентны (например, одно получается из другого умножением на число). Геометрически графики уравнений совпадают.
• Не иметь решений. Это происходит, когда уравнения противоречат друг другу. Геометрически графики уравнений параллельны и не пересекаются.

Таким образом, "решить систему" — это найти полное множество её решений или доказать, что решений нет.

Ответ: Решить систему уравнений с двумя неизвестными — это значит найти все упорядоченные пары чисел, которые являются решением каждого из уравнений системы, или установить, что таких пар не существует.

2) решить систему неравенств с двумя неизвестными

Решить систему неравенств с двумя неизвестными, например $x$ и $y$, означает найти все упорядоченные пары чисел $(x_0, y_0)$, которые при подстановке в каждое неравенство системы одновременно обращают их в верные числовые неравенства.

Совокупность всех таких пар называется множеством решений системы неравенств. В отличие от систем уравнений, где решение часто представляет собой одну или несколько точек, решение системы неравенств с двумя переменными — это, как правило, некоторая область на координатной плоскости.

Например, рассмотрим систему: $ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $
Решением этой системы являются все пары чисел $(x, y)$, у которых и $x$, и $y$ — положительные числа. Геометрически это соответствует всем точкам, лежащим в первой координатной четверти. Любая точка из этой области, например $(1, 3)$, является решением системы, так как $1 > 0$ и $3 > 0$. Точка $(-1, 2)$ не является решением, так как $-1 > 0$ — неверно.

Таким образом, "решить систему неравенств" — это описать или графически изобразить множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют всем неравенствам системы. Если таких точек не существует, система не имеет решений.

Ответ: Решить систему неравенств с двумя неизвестными — это значит найти множество всех упорядоченных пар чисел, удовлетворяющих каждому неравенству системы, или установить, что это множество пусто. Обычно это множество является областью на координатной плоскости.

10. Какие системы уравнений (неравенств) называются равносильными?

Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Другими словами, любое решение первой системы является решением второй, и любое решение второй системы является решением первой.

Важно отметить, что если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными, поскольку их множества решений пусты и, следовательно, равны между собой.

При решении систем часто используют равносильные преобразования, которые позволяют заменить одну систему другой, более простой, но имеющей то же самое множество решений.

Пример равносильных систем уравнений:

Рассмотрим две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Если сложить два уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ в первое уравнение, получим $4 + y = 7$, откуда $y=3$. Таким образом, решением системы является единственная пара чисел $(4, 3)$.

Система 2: $ \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} $

Решение этой системы очевидно — это пара $(4, 3)$.

Поскольку множества решений обеих систем совпадают (состоят из одной и той же пары чисел), эти системы являются равносильными.

Пример равносильных систем неравенств:

Рассмотрим две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x > 3 \\ x \le 6 \end{cases} $

Множеством решений этой системы является полуинтервал $(3, 6]$.

Система 2: $ \begin{cases} 2x - 6 > 0 \\ -x \ge -6 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x > 6 \implies x > 3$. Решим второе неравенство, умножив обе части на $-1$ и изменив знак на противоположный: $x \le 6$.

Множество решений второй системы также является полуинтервал $(3, 6]$.

Так как множества решений обеих систем неравенств совпадают, эти системы равносильны.

Ответ: Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Это включает в себя и случай, когда обе системы не имеют решений.

11. Можно ли в системе из двух уравнений одно из них заменить: 1) почленной суммой этих уравнений;
2) почленной разностью этих уравнений;
3) почленным произведением этих уравнений?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно определить, является ли преобразование системы уравнений равносильным. Преобразование называется равносильным, если оно не меняет множество решений системы, то есть новая система имеет те же решения, что и исходная.

Запишем исходную систему в общем виде:

Здесь $A$ и $B$ — это некоторые выражения, зависящие от переменных системы (например, $A = f(x,y)$ и $B = g(x,y)$).

Да, можно. Такое преобразование является равносильным. Заменим, например, второе уравнение на сумму первого и второго. Получим новую систему:

Проверим равносильность:

• Если пара значений переменных является решением исходной системы, то для нее $A=0$ и $B=0$. Очевидно, что эти значения удовлетворяют и новой системе, так как $A=0$ и $A+B = 0+0=0$.
• Если пара значений является решением новой системы, то для нее $A=0$ и $A+B=0$. Подставив $A=0$ во второе равенство, получим $0+B=0$, откуда следует, что $B=0$. Значит, эта пара является решением и исходной системы.

Поскольку множества решений исходной и новой систем совпадают, замена равносильна. Этот прием (метод алгебраического сложения) широко используется при решении систем уравнений.

Ответ: Да, можно.

Да, можно. Как и в случае с суммой, это преобразование является равносильным. Система, в которой одно из уравнений заменено на их разность, будет иметь то же самое множество решений.

Новая система, в которой второе уравнение заменено разностью $A-B$:

Доказательство равносильности полностью аналогично предыдущему пункту:

• Если $A=0$ и $B=0$, то $A=0$ и $A-B = 0-0=0$.
• Если $A=0$ и $A-B=0$, то, подставив $A=0$ во второе уравнение, получаем $0-B=0$, откуда $B=0$.

Следовательно, преобразование является равносильным.

Ответ: Да, можно.

Нет, в общем случае такое преобразование не является равносильным, так как оно может привести к появлению посторонних решений. Новая система будет следствием исходной, но не наоборот.

Новая система, в которой второе уравнение заменено произведением:

Любое решение исходной системы (для которого $A = 0$ и $B = 0$) будет решением и новой (так как $A = 0$ и $A \cdot B = 0 \cdot 0 = 0$).

Однако обратное неверно. Если $A = 0$, то второе уравнение новой системы $A \cdot B = 0$ превращается в $0 \cdot B = 0$, что верно при любом значении $B$. Таким образом, решением новой системы будет любое решение уравнения $A=0$, даже если для него $B \neq 0$. Эти решения, для которых $B \neq 0$, являются посторонними для исходной системы.

Рассмотрим конкретный пример. Исходная система:

Единственное решение этой системы — пара $(1, 2)$.

Заменим второе уравнение на произведение:

Из первого уравнения получаем $x=1$. Подставим это значение во второе уравнение: $(1 - 1)(y - 2) = 0$, или $0 \cdot (y-2) = 0$. Это равенство верно для любого значения $y$. Следовательно, решением новой системы является любая пара вида $(1, y)$, где $y$ — любое действительное число ($y \in \mathbb{R}$). Множество решений расширилось, значит, преобразование не равносильно.

Ответ: Нет, в общем случае нельзя.

12. Через какую точку координатной плоскости проходит график любой показательной функции?

По определению, показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ — это положительное число, не равное единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Нам нужно найти точку $(x_0, y_0)$, которая принадлежит графику любой такой функции, то есть ее координаты должны удовлетворять уравнению $y_0 = a^{x_0}$ при любом допустимом значении $a$.

Давайте проверим, что произойдет, если мы подставим в качестве абсциссы $x = 0$.

$y = a^0$

Мы знаем, что любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Поскольку для показательной функции основание $a$ всегда положительно ($a > 0$), то $a^0$ всегда будет равно 1, независимо от конкретного значения $a$.

Например:

• Для функции $y = 2^x$, при $x=0$, $y = 2^0 = 1$.
• Для функции $y = 10^x$, при $x=0$, $y = 10^0 = 1$.
• Для функции $y = (0.5)^x$, при $x=0$, $y = (0.5)^0 = 1$.

Таким образом, для любой показательной функции $y = a^x$ при $x=0$ значение $y$ всегда равно 1. Следовательно, все графики показательных функций проходят через одну и ту же точку на координатной плоскости.

Ответ: (0, 1).

13. Имеет ли функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ наименьшее значение? Почему?

Нет, функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ не имеет наименьшего значения.

Почему?

1. Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{2}{3}$.

2. Поскольку основание $a$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем меньше значение функции $y$.

3. Область значений этой функции — интервал $(0; +\infty)$. Это значит, что значения функции всегда строго больше нуля. При неограниченном увеличении $x$ (когда $x \to +\infty$), значение $y$ будет бесконечно приближаться к нулю, но никогда его не достигнет. Математически это записывается как предел: $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^x = 0$.

Таким образом, не существует такого конкретного числа $x_0$, при котором функция достигала бы своего наименьшего значения. Для любого значения функции всегда можно найти значение еще меньше, просто взяв $x$ побольше. У функции есть точная нижняя граница (инфимум), равная нулю, но нет наименьшего значения (минимума), так как эта граница недостижима.

Ответ: Нет, функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ не имеет наименьшего значения, так как она является строго убывающей на всей области определения, а ее значения, всегда оставаясь положительными, могут быть сколь угодно близки к нулю, но никогда его не достигают.

14. Имеет ли функция $y=1,2^x$ наибольшее значение? Почему?

Рассмотрим заданную функцию $y = 1.2^x$. Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = 1.2$.

Согласно свойствам показательной функции, если ее основание $a$ больше 1, то функция является строго возрастающей на всей своей области определения. В нашем случае основание $a = 1.2$, что больше 1, следовательно, функция $y = 1.2^x$ является строго возрастающей.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Поскольку функция строго возрастает на неограниченном справа промежутке, это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Для любого значения функции всегда можно найти другое, еще большее, просто взяв большее значение $x$. Таким образом, функция не ограничена сверху.

Математически это выражается через предел функции при $x$, стремящемся к плюс бесконечности: $$ \lim_{x \to +\infty} 1.2^x = +\infty $$ Поскольку значения функции могут быть сколь угодно большими, она не может иметь наибольшего (максимального) значения.

Ответ: Нет, функция $y=1.2^x$ не имеет наибольшего значения. Причина в том, что это показательная функция с основанием $a = 1.2$, которое больше 1. Такие функции являются строго возрастающими на всей числовой прямой, и их значения неограниченно растут при увеличении аргумента $x$.

15. Получится ли уравнение, равносильное данному, если обе его части разделить на $17^x$?

15.

Да, в результате деления обеих частей уравнения на $17^x$ получится уравнение, равносильное данному.

Чтобы доказать это, обратимся к определению равносильных уравнений и равносильных преобразований.

Равносильные уравнения — это уравнения, множества решений (корней) которых совпадают.

Равносильное преобразование — это преобразование уравнения, в результате которого получается новое уравнение, равносильное исходному.

Одним из основных равносильных преобразований является умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, которое определено для всех значений переменной из области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения и нигде на этой области не обращается в ноль.

Рассмотрим выражение $17^x$, на которое предлагается разделить обе части уравнения. Это показательная функция $y(x) = 17^x$.

Ключевое свойство показательной функции $y = a^x$ при основании $a > 0$ и $a \neq 1$ заключается в том, что ее значения всегда строго положительны. В нашем случае основание $a = 17$, что удовлетворяет этим условиям.

Следовательно, для любого действительного числа $x$ значение выражения $17^x$ будет всегда больше нуля: $17^x > 0$.

Поскольку выражение $17^x$ никогда не равно нулю, деление обеих частей уравнения на $17^x$ является равносильным преобразованием. Такое преобразование не приводит к потере корней или появлению посторонних корней.

Таким образом, новое уравнение будет иметь в точности те же корни, что и исходное, а значит, будет ему равносильно.

Ответ: Да, получится уравнение, равносильное данному.

16. Обосновать, почему уравнение $a^x = 5 (a > 0, a \neq 1)$ имеет единственный корень.

Для обоснования единственности корня уравнения $a^x = 5$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ можно использовать два основных подхода.

Обоснование через свойства показательной функции

Рассмотрим данное уравнение как равенство значений двух функций: $y = a^x$ и $y = 5$. Решения (корни) этого уравнения являются абсциссами (координатами $x$) точек пересечения графиков этих функций.

Функция $y = a^x$ при условиях $a > 0$ и $a \neq 1$ является показательной функцией. Она обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Строгая монотонность. Функция является строго монотонной на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Если $a > 1$, она строго возрастает; если $0 < a < 1$, она строго убывает. Строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз. Это означает, что для любого числа $C$ уравнение $a^x = C$ может иметь не более одного корня.

2. Область значений. Область значений показательной функции — это множество всех положительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$. Поскольку число 5 положительно, оно принадлежит этой области значений. Это гарантирует, что существует хотя бы один корень, то есть график $y = a^x$ обязательно пересечет прямую $y=5$.

Совмещая эти два факта (существует не более одного корня и существует хотя бы один корень), мы заключаем, что уравнение $a^x = 5$ имеет ровно один, то есть единственный, корень.

Обоснование через определение логарифма

Уравнение $a^x = 5$ является простейшим показательным уравнением. По определению логарифма, его решение записывается в виде $x = \log_a 5$.

Логарифм $\log_a b$ существует и является единственным действительным числом, если его основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, а аргумент $b$ положителен ($b > 0$).

В данном уравнении все эти условия выполнены: $a > 0, a \neq 1$ по условию задачи, и $5 > 0$. Следовательно, существует единственное число $x = \log_a 5$, которое является решением уравнения.

Ответ: Уравнение $a^x=5$ при $a > 0, a \neq 1$ имеет единственный корень, потому что показательная функция $y=a^x$ является строго монотонной и принимает все положительные значения ровно по одному разу. Таким образом, значение 5 будет достигнуто при единственном значении $x$. Также, по определению логарифма, решение уравнения $x = \log_a 5$ существует и является единственным, так как все условия для существования и единственности логарифма выполнены.

17. Можно ли в системе двух неравенств одинакового смысла одно из неравенств заменить:

1) почленной суммой этих неравенств;

2) почленным произведением левых и правых частей имеющихся неравенств?

Вопрос заключается в том, являются ли преобразования системы неравенств равносильными, то есть приводят ли они к системе с тем же множеством решений. Замена допустима только в том случае, если новая система равносильна исходной.

1) почленной суммой этих неравенств

Рассмотрим систему двух неравенств одинакового смысла, например:

$$\begin{cases} A > B \\ C > D\end{cases}$$

Заменим одно из неравенств, например второе, на почленную сумму этих неравенств. Получим новую систему:

$$\begin{cases} A > B \\ A + C > B + D\end{cases}$$

Проверим равносильность систем. Любое решение исходной системы будет являться решением и новой системы. Если $A > B$ и $C > D$, то по свойству числовых неравенств их можно почленно сложить, получив верное неравенство $A + C > B + D$. Таким образом, из истинности исходной системы следует истинность новой.

Однако обратное утверждение неверно. Новая система может иметь решения, которые не удовлетворяют исходной системе. Это означает, что при такой замене могут появиться посторонние решения, и системы не являются равносильными.

Приведем контрпример. Рассмотрим исходную систему:

$$\begin{cases} x > 0 \\ y > 0\end{cases}$$

Решением этой системы являются все точки $(x, y)$, лежащие в первой координатной четверти, не включая оси.

Теперь заменим второе неравенство на сумму первого и второго:

$$\begin{cases} x > 0 \\ x + y > 0 + 0\end{cases}\implies\begin{cases} x > 0 \\ x + y > 0\end{cases}$$

Возьмем точку $(x, y) = (3, -2)$. Проверим, является ли она решением новой системы:
$3 > 0$ (верно)
$3 + (-2) > 0 \implies 1 > 0$ (верно)
Точка $(3, -2)$ является решением новой системы.

Теперь проверим эту же точку для исходной системы:
$3 > 0$ (верно)
$-2 > 0$ (неверно)
Точка $(3, -2)$ не является решением исходной системы.

Так как мы нашли решение, которое удовлетворяет новой системе, но не удовлетворяет исходной, системы не равносильны.

Ответ: нет, нельзя, так как такое преобразование не является равносильным. Новая система может иметь решения, которые не являются решениями исходной системы.

2) почленным произведением левых и правых частей имеющихся неравенств

Рассмотрим ту же исходную систему:

$$\begin{cases} A > B \\ C > D\end{cases}$$

Заменим одно из неравенств, например второе, на произведение:

$$\begin{cases} A > B \\ A \cdot C > B \cdot D\end{cases}$$

Во-первых, следует отметить, что операция почленного умножения неравенств одинакового смысла корректна только в том случае, если все части неравенств ($A, B, C, D$) являются положительными числами. Если хотя бы одна из частей может быть отрицательной или нулем, то результат умножения может быть непредсказуемым. Уже одно это ограничение говорит о том, что такая замена не может быть общим правилом.

Во-вторых, даже если все части неравенств положительны, такая замена, как и в случае со сложением, приводит к неравносильной системе.

Приведем контрпример для случая с положительными частями. Исходная система:

$$\begin{cases} x > 2 \\ y > 5\end{cases}$$

Заменим второе неравенство на произведение:

$$\begin{cases} x > 2 \\ x \cdot y > 2 \cdot 5\end{cases}\implies\begin{cases} x > 2 \\ xy > 10\end{cases}$$

Возьмем точку $(x, y) = (10, 1.5)$. Проверим ее для новой системы:
$10 > 2$ (верно)
$10 \cdot 1.5 > 10 \implies 15 > 10$ (верно)
Точка $(10, 1.5)$ является решением новой системы.

Теперь проверим эту же точку для исходной системы:
$10 > 2$ (верно)
$1.5 > 5$ (неверно)
Точка $(10, 1.5)$ не является решением исходной системы.

Системы не равносильны. Это демонстрирует, что даже при соблюдении условия положительности всех частей замена приводит к появлению посторонних решений.

Ответ: нет, нельзя. Эта операция, в общем случае, некорректна для неравенств, части которых могут быть отрицательными. Но даже если все части положительны, замена не является равносильной и приводит к расширению множества решений.

1. Построить схематически график функции:

1) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x;$ 2) $y = 6^x.$

Для построения схематических графиков показательных функций вида $y = a^x$ необходимо проанализировать их основные свойства, зависящие от основания $a$.

Это показательная функция с основанием $a = \frac{3}{5}$.

Проанализируем свойства функции:

• Основание: $a = \frac{3}{5}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции всегда находится выше оси абсцисс (Ox).
• Поведение на бесконечности: При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Это означает, что ось Ox является горизонтальной асимптотой для графика. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$.
• Ключевые точки: Для более точного построения найдем несколько точек.
  • При $x = -1$, $y = (\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
  • При $x = 0$, $y = (\frac{3}{5})^0 = 1$. График любой показательной функции $y=a^x$ проходит через точку $(0, 1)$.
  • При $x = 1$, $y = (\frac{3}{5})^1 = \frac{3}{5} = 0.6$.
  • При $x = 2$, $y = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, которая проходит через точку $(0,1)$. Она убывает на всей области определения: слева направо она идет сверху вниз. Слева (при отрицательных $x$) график круто уходит вверх, а справа (при положительных $x$) он плавно приближается к оси Ox, не пересекая её.

Ответ: График функции $y = (\frac{3}{5})^x$ — это непрерывная убывающая кривая, расположенная в I и II координатных четвертях, проходящая через точку $(0,1)$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика при $x \to +\infty$.

Это показательная функция с основанием $a = 6$.

Проанализируем свойства функции:

• Основание: $a = 6$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции также всегда находится выше оси абсцисс (Ox).
• Поведение на бесконечности: При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Это означает, что ось Ox является горизонтальной асимптотой для графика.
• Ключевые точки: Найдем несколько точек для построения.
  • При $x = -1$, $y = 6^{-1} = \frac{1}{6} \approx 0.17$.
  • При $x = 0$, $y = 6^0 = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.
  • При $x = 1$, $y = 6^1 = 6$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, проходящую через точку $(0,1)$. Она возрастает на всей области определения: слева направо она идет снизу вверх. Слева (при отрицательных $x$) график плавно приближается к оси Ox, не пересекая её. Справа (при положительных $x$) он очень быстро (резче, чем $y=x^2$ или $y=x^3$) уходит вверх.

Ответ: График функции $y = 6^x$ — это непрерывная возрастающая кривая, расположенная в I и II координатных четвертях, проходящая через точку $(0,1)$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика при $x \to -\infty$.

2. Сравнить числа:

1) $\left(\frac{1}{6}\right)^{0,2}$ и $\left(\frac{1}{6}\right)^{1,2}$;

2) $8^{-0,2}$ и $8^{-1,2}$.

1) Для сравнения чисел $(\frac{1}{6})^{0,2}$ и $(\frac{1}{6})^{1,2}$ необходимо рассмотреть свойства показательной функции $y=a^x$. В данном случае числа представляют собой значения функции $y=(\frac{1}{6})^x$ при разных значениях аргумента $x$. Основание степени $a = \frac{1}{6}$. Так как основание удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$, то показательная функция $y=(\frac{1}{6})^x$ является убывающей на всей области определения. Свойство убывающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели степеней: $0,2$ и $1,2$. Поскольку $0,2 < 1,2$, для убывающей функции будет верно обратное неравенство: $(\frac{1}{6})^{0,2} > (\frac{1}{6})^{1,2}$.
Ответ: $(\frac{1}{6})^{0,2} > (\frac{1}{6})^{1,2}$.

2) Для сравнения чисел $8^{-0,2}$ и $8^{-1,2}$ рассмотрим показательную функцию $y=8^x$. Основание степени $a = 8$. Так как основание $a > 1$, то показательная функция $y=8^x$ является возрастающей на всей области определения. Свойство возрастающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $-0,2$ и $-1,2$. Поскольку $-0,2 > -1,2$, для возрастающей функции знак неравенства сохранится: $8^{-0,2} > 8^{-1,2}$.
Ответ: $8^{-0,2} > 8^{-1,2}$.

3. Решить уравнение:

1) $4^{x+1} = 64^{x-1}$;

2) $0,7^{x^2+4x-5} = 1$;

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$;

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^{x} + 1 = 0$.

1) $4^{x+1} = 64^{x-1}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $64 = 4^3$.
Подставим это в исходное уравнение:
$4^{x+1} = (4^3)^{x-1}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части уравнения:
$4^{x+1} = 4^{3(x-1)}$
Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+1 = 3(x-1)$
Решим полученное линейное уравнение:
$x+1 = 3x - 3$
$1+3 = 3x - x$
$4 = 2x$
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $0,7^{x^2+4x-5} = 1$

Мы знаем, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. То есть, $a^0=1$ при $a \neq 0$.
Поскольку основание степени $0,7$ не равно нулю, то для выполнения равенства показатель степени должен быть равен нулю:
$x^2+4x-5 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4-6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $-5; 1$.

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^1 = 12$
$8 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x = 12$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (8-2) = 12$
$6 \cdot 2^x = 12$
Разделим обе части уравнения на 6:
$2^x = \frac{12}{6}$
$2^x = 2$
Поскольку $2 = 2^1$, мы можем приравнять показатели:
$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:
$4t^2 - 5t + 1 = 0$
Решим его относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5+3}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Оба найденных значения для $t$ положительны, поэтому они нам подходят. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.
1. Если $t = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1=2^0$, то $2^x = 2^0$, откуда $x=0$.
2. Если $t = \frac{1}{4}$, то $2^x = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, то $2^x = 2^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2; 0$.

4. Решить неравенство:

1) $6^{x-2} > 36;$

2) $0,5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}.$

1) $6^{x-2} > 36$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 6.

Представим число 36 как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$6^{x-2} > 6^2$

Поскольку основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.

$x - 2 > 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$x > 2 + 2$

$x > 4$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $0.5^{x^2-2} \ge \frac{1}{4}$

Для решения этого неравенства также приведем обе части к одному основанию. Представим 0,5 в виде обыкновенной дроби $0.5 = \frac{1}{2}$.

Правую часть неравенства, $\frac{1}{4}$, также представим как степень с основанием $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{1}{2})^{x^2-2} \ge (\frac{1}{2})^2$

Основание степени равно $\frac{1}{2}$, что меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$). В этом случае показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства нужно изменить на противоположный (с $\ge$ на $\le$).

$x^2 - 2 \le 2$

Теперь решим полученное квадратное неравенство:

$x^2 - 4 \le 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x-2)(x+2) \le 0$

Для решения этого неравенства найдем корни уравнения $(x-2)(x+2) = 0$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Парабола $y = x^2 - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому значения $y \le 0$ находятся между корнями.

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$ из отрезка $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, 2]$.

1. Построить схематически график функции $y = 3^{|x|} + 1$.

1.

Для построения схематического графика функции $y = 3^{|x|} + 1$ выполним последовательные преобразования, отталкиваясь от графика базовой функции.

Этап 1: Построение графика базовой функции $y_1 = 3^x$.
Это стандартная показательная функция с основанием больше единицы. Ее график — это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ (поскольку $3^0=1$) и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$.

Этап 2: Применение модуля к аргументу — построение графика $y_2 = 3^{|x|}$.
Чтобы получить график функции $y = f(|x|)$ из графика $y=f(x)$, необходимо часть графика для $x \ge 0$ оставить без изменений, а часть для $x < 0$ заменить на симметричное отражение правой части относительно оси $Oy$.
Таким образом, график $y_2 = 3^{|x|}$ будет симметричен относительно оси $Oy$. Он будет состоять из двух ветвей:
- $y = 3^x$ при $x \ge 0$
- $y = 3^{-x}$ при $x < 0$
Этот график имеет точку минимума в $(0, 1)$.

Этап 3: Вертикальный сдвиг — построение итогового графика $y = 3^{|x|} + 1$.
Финальный график получается путем сдвига графика $y_2 = 3^{|x|}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. В результате все точки графика смещаются вверх на 1.
- Точка минимума смещается из $(0, 1)$ в точку $(0, 2)$.
- Симметрия относительно оси $Oy$ сохраняется.
- Контрольные точки также смещаются: например, точки $(\pm1, 3)$ на графике $y_2$ переходят в точки $(\pm1, 4)$ на итоговом графике.

Описание итогового графика:
График функции $y = 3^{|x|} + 1$ является четной функцией, симметричной относительно оси $Oy$. Он имеет точку глобального минимума в $(0, 2)$. Область значений функции — $[2, +\infty)$. При увеличении $|x|$, значение функции стремительно растет.

Ответ: Схематический график функции $y = 3^{|x|} + 1$ — это кривая, симметричная относительно оси ординат $Oy$, с точкой минимума в $(0, 2)$. График получается путем сдвига графика функции $y = 3^{|x|}$ на 1 единицу вверх. Для построения можно использовать контрольные точки: при $x=0, y=2$; при $x=\pm1, y=4$; при $x=\pm2, y=10$.

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ на отрезке $[-2; 0]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ на отрезке $[-2; 0]$, проанализируем её свойства.

Это показательная функция вида $y = a^x$ с основанием $a = \frac{1}{4}$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Для монотонно убывающей функции на отрезке верно следующее: наибольшее значение достигается в левой границе отрезка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее — в правой границе (при наибольшем значении $x$).

Наибольшее значение
Вычислим значение функции в левой границе отрезка, то есть при $x = -2$:
$y_{наиб} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = (4^{-1})^{-2} = 4^{(-1) \cdot (-2)} = 4^2 = 16$.
Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ равно 16.

Наименьшее значение
Вычислим значение функции в правой границе отрезка, то есть при $x = 0$:
$y_{наим} = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2; 0]$ равно 1.