Номер 3, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Решить уравнение:

1) $4^{x+1} = 64^{x-1}$;

2) $0,7^{x^2+4x-5} = 1$;

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$;

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^{x} + 1 = 0$.

1) $4^{x+1} = 64^{x-1}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $64 = 4^3$.
Подставим это в исходное уравнение:
$4^{x+1} = (4^3)^{x-1}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части уравнения:
$4^{x+1} = 4^{3(x-1)}$
Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x+1 = 3(x-1)$
Решим полученное линейное уравнение:
$x+1 = 3x - 3$
$1+3 = 3x - x$
$4 = 2x$
$x = \frac{4}{2}$
$x = 2$

Ответ: $2$.

2) $0,7^{x^2+4x-5} = 1$

Мы знаем, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. То есть, $a^0=1$ при $a \neq 0$.
Поскольку основание степени $0,7$ не равно нулю, то для выполнения равенства показатель степени должен быть равен нулю:
$x^2+4x-5 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4-6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Ответ: $-5; 1$.

3) $2^{x+3} - 2^{x+1} = 12$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^1 = 12$
$8 \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x = 12$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x (8-2) = 12$
$6 \cdot 2^x = 12$
Разделим обе части уравнения на 6:
$2^x = \frac{12}{6}$
$2^x = 2$
Поскольку $2 = 2^1$, мы можем приравнять показатели:
$x = 1$

Ответ: $1$.

4) $4 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 1 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $2^{2x} = (2^x)^2$.
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:
$4t^2 - 5t + 1 = 0$
Решим его относительно $t$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5+3}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Оба найденных значения для $t$ положительны, поэтому они нам подходят. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.
1. Если $t = 1$, то $2^x = 1$. Так как $1=2^0$, то $2^x = 2^0$, откуда $x=0$.
2. Если $t = \frac{1}{4}$, то $2^x = \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, то $2^x = 2^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2; 0$.