Номер 753, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

753. Найти логарифмы чисел по основанию 3:

3, 9, 27, 81, 1, $ \frac{1}{3} $, $ \frac{1}{9} $, $ \frac{1}{243} $, $ \sqrt[3]{3} $, $ \frac{1}{3\sqrt{3}} $, $ 9\sqrt[4]{3} $.

Для нахождения логарифмов данных чисел по основанию 3 мы будем использовать определение логарифма: $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Наша задача — для каждого числа $b$ из списка найти такое число $c$, что $3^c = b$.

3 Чтобы найти $\log_3 3$, нужно определить, в какую степень следует возвести основание 3, чтобы получить число 3. Очевидно, что $3^1 = 3$. Следовательно, $\log_3 3 = 1$. Ответ: 1.

9 Чтобы найти $\log_3 9$, представим число 9 в виде степени с основанием 3. Так как $9 = 3^2$, то логарифм равен показателю этой степени. $\log_3 9 = \log_3(3^2) = 2$. Ответ: 2.

27 Чтобы найти $\log_3 27$, представим число 27 как степень числа 3. Так как $27 = 3^3$, то логарифм равен 3. $\log_3 27 = \log_3(3^3) = 3$. Ответ: 3.

81 Чтобы найти $\log_3 81$, представим число 81 как степень числа 3. Так как $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$, то логарифм равен 4. $\log_3 81 = \log_3(3^4) = 4$. Ответ: 4.

1 Чтобы найти $\log_3 1$, вспомним, что любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Таким образом, $3^0 = 1$. $\log_3 1 = 0$. Ответ: 0.

$\frac{1}{3}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3}$, используем свойство степеней с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В нашем случае $\frac{1}{3} = 3^{-1}$. $\log_3 \frac{1}{3} = \log_3(3^{-1}) = -1$. Ответ: -1.

$\frac{1}{9}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{9}$, представим знаменатель как степень тройки: $9 = 3^2$. Тогда дробь можно записать как $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3(3^{-2}) = -2$. Ответ: -2.

$\frac{1}{243}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{243}$, сначала представим 243 как степень числа 3. Путем последовательного умножения на 3 получаем: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$. Следовательно, $\frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5}$. $\log_3 \frac{1}{243} = \log_3(3^{-5}) = -5$. Ответ: -5.

$\sqrt[3]{3}$ Чтобы найти $\log_3 \sqrt[3]{3}$, используем свойство степеней с дробным показателем: $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$. Таким образом, кубический корень из 3 можно записать как $3^{1/3}$. $\log_3 \sqrt[3]{3} = \log_3(3^{1/3}) = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{3\sqrt{3}}$ Чтобы найти $\log_3 \frac{1}{3\sqrt{3}}$, сначала упростим выражение в знаменателе. Представим каждый множитель как степень числа 3: $3 = 3^1$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем: $3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{3/2}$. Тогда вся дробь равна $\frac{1}{3^{3/2}} = 3^{-3/2}$. $\log_3 \left(\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) = \log_3(3^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$. Ответ: $-\frac{3}{2}$.

$9\sqrt[4]{3}$ Чтобы найти $\log_3 (9\sqrt[4]{3})$, представим все выражение как степень числа 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$. Перемножим эти степени: $9\sqrt[4]{3} = 3^2 \cdot 3^{1/4} = 3^{2+\frac{1}{4}} = 3^{\frac{8}{4}+\frac{1}{4}} = 3^{9/4}$. $\log_3 (9\sqrt[4]{3}) = \log_3(3^{9/4}) = \frac{9}{4}$. Ответ: $\frac{9}{4}$.