Номер 755, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

755. 1) $\log_2 \frac{1}{2}$;

2) $\log_2 \frac{1}{8}$;

3) $\log_2 \sqrt{2}$;

4) $\log_3 \frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) Чтобы вычислить $log_2 \frac{1}{2}$, нужно найти такую степень $x$, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить число $\frac{1}{2}$. Это следует из определения логарифма: $log_b a = x \Leftrightarrow b^x = a$. Таким образом, мы решаем уравнение $2^x = \frac{1}{2}$. Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени с основанием 2. Используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$. Теперь уравнение принимает вид $2^x = 2^{-1}$. Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны. Следовательно, $x = -1$. Ответ: $-1$.

2) Для вычисления $log_2 \frac{1}{8}$ действуем аналогично. Ищем такое число $x$, что $2^x = \frac{1}{8}$. Сначала представим число 8 в виде степени с основанием 2. Поскольку $2^3 = 8$, мы можем переписать правую часть уравнения. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Уравнение приобретает вид $2^x = 2^{-3}$. Из равенства оснований следует равенство показателей: $x = -3$. Ответ: $-3$.

3) Чтобы найти значение $log_2 \sqrt{2}$, ищем показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $2^x = \sqrt{2}$. Вспомним, что квадратный корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{a} = a^{1/2}$. Применив это правило, получим $\sqrt{2} = 2^{1/2}$. Наше уравнение принимает вид $2^x = 2^{1/2}$. Так как основания степеней одинаковы, приравниваем их показатели: $x = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Для вычисления $log_3 \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ найдем такое $x$, что $3^x = \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Сначала преобразуем выражение под логарифмом. Корень четвертой степени можно записать как степень с показателем $\frac{1}{4}$: $\sqrt[4]{3} = 3^{1/4}$. Тогда дробь $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ можно переписать как $\frac{1}{3^{1/4}}$. Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем $3^{-1/4}$. Итак, наше уравнение выглядит как $3^x = 3^{-1/4}$. Из равенства оснований следует, что $x = -\frac{1}{4}$. Ответ: $-\frac{1}{4}$.