Номер 758, страница 243 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

758. 1) $log_{1/2} \frac{1}{32}$;

2) $log_{1/2} 4$;

3) $log_{0,5} 0,125$;

4) $log_{0,5} \frac{1}{2}$;

5) $log_{0,5} 1$;

6) $log_{1/2} \sqrt[3]{2}$.

1) Чтобы найти значение $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32}$, нам нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{2}$, чтобы получить число $\frac{1}{32}$. Запишем это в виде уравнения: $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{32}$.

Представим основание и число как степени двойки. Основание $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Число $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.

Подставим эти значения в уравнение:

$(2^{-1})^x = 2^{-5}$

$2^{-x} = 2^{-5}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$-x = -5$

$x = 5$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{32} = 5$.

Ответ: $5$

2) Найдем значение $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = x$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $(\frac{1}{2})^x = 4$.

Представим обе части уравнения как степени числа 2.

Основание: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Число: $4 = 2^2$.

Подставим в уравнение: $(2^{-1})^x = 2^2$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{-x} = 2^2$.

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$-x = 2$

$x = -2$

Таким образом, $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.

Ответ: $-2$

3) Для вычисления $\log_{0,5} 0,125$, сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные.

Основание логарифма: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Число под логарифмом: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Таким образом, выражение принимает вид $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} = x$. Это означает, что $(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$.

Представим $\frac{1}{8}$ как степень основания $\frac{1}{2}$. Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.

Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$

4) Необходимо вычислить $\log_{0,5} \frac{1}{2}$.

Преобразуем основание логарифма $0,5$ в обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{1}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$.

Используя свойство логарифма $\log_a a = 1$, где основание равно числу под логарифмом, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$

5) Требуется найти значение $\log_{0,5} 1$.

Согласно основному свойству логарифмов, логарифм единицы по любому допустимому основанию (положительному и не равному 1) равен нулю. Это свойство записывается как $\log_a 1 = 0$, потому что $a^0 = 1$.

В данном случае основание $a=0,5$, что является допустимым основанием.

Следовательно, $\log_{0,5} 1 = 0$.

Ответ: $0$

6) Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}$.

Пусть $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{2}$.

Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с основанием 2.

Основание логарифма: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Число под логарифмом: $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(2^{-1})^x = 2^{\frac{1}{3}}$

Используя свойство степеней, получаем:

$2^{-x} = 2^{\frac{1}{3}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x = \frac{1}{3}$

$x = -\frac{1}{3}$

Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2} = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$