Номер 5, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя глава VI (2). Глава VI. Показательная функция - номер 5, страница 240.

Условие.

5. Решить систему

$$\begin{cases} 5^x \cdot 2^y = 20, \\\\ 5^y \cdot 2^x = 50, \\\\ 10^{x-y} < 2. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной системы сначала рассмотрим два уравнения:

$ \begin{cases} 5^x \cdot 2^y = 20, \\ 5^y \cdot 2^x = 50. \end{cases}$

Перемножим первое и второе уравнения системы. Это позволит нам сгруппировать степени с одинаковыми основаниями.

$(5^x \cdot 2^y) \cdot (5^y \cdot 2^x) = 20 \cdot 50$

$5^x \cdot 5^y \cdot 2^x \cdot 2^y = 1000$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:

$5^{x+y} \cdot 2^{x+y} = 1000$

Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получим:

$(5 \cdot 2)^{x+y} = 1000$

$10^{x+y} = 10^3$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x + y = 3$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$\frac{5^x \cdot 2^y}{5^y \cdot 2^x} = \frac{20}{50}$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

$5^{x-y} \cdot 2^{y-x} = \frac{2}{5}$

Заметим, что $y-x = -(x-y)$, поэтому $2^{y-x} = 2^{-(x-y)} = (\frac{1}{2})^{x-y}$. Уравнение примет вид:

$5^{x-y} \cdot (\frac{1}{2})^{x-y} = \frac{2}{5}$

$(\frac{5}{2})^{x-y} = \frac{2}{5}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{2}$: $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

$(\frac{5}{2})^{x-y} = (\frac{5}{2})^{-1}$

Приравнивая показатели степеней, получаем второе линейное уравнение:

$x - y = -1$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 3 + (-1)$

$2x = 2$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x=1$ в первое уравнение ($x+y=3$):

$1 + y = 3$

$y = 2$

Таким образом, решением системы уравнений является пара чисел $(1, 2)$.

Осталось проверить, удовлетворяет ли это решение третьему условию системы — неравенству $10^{x-y} < 2$.

Подставим $x=1$ и $y=2$ в неравенство:

$10^{1-2} < 2$

$10^{-1} < 2$

$\frac{1}{10} < 2$

$0.1 < 2$

Данное неравенство является верным. Следовательно, найденная пара чисел является решением исходной системы.

Ответ: $(1, 2)$