Номер 4, страница 240 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Решить неравенство $0.8^{\sqrt{4x-3}} > 0.8^x$.

Дано показательное неравенство $0.8^{\sqrt{4x-3}} > 0.8^x$.

Основание степени $a = 0.8$ находится в интервале $(0, 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Это значит, что для выполнения неравенства $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ необходимо, чтобы показатель степени $f(x)$ был меньше показателя степени $g(x)$. Таким образом, мы переходим к следующему неравенству, меняя знак на противоположный:

$\sqrt{4x-3} < x$

При решении этого иррационального неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$4x-3 \ge 0 \implies 4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Применим эту систему к нашему неравенству:

$\begin{cases} 4x-3 \ge 0 \\ x > 0 \\ 4x-3 < x^2 \end{cases}$

1. Из первого неравенства, как мы уже нашли, следует $x \ge \frac{3}{4}$.

2. Второе неравенство $x > 0$.

Пересечение этих двух условий ($x \ge \frac{3}{4}$ и $x>0$) дает $x \ge \frac{3}{4}$.

3. Решим третье неравенство:

$4x-3 < x^2$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используя теорему Виета, получаем корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями. Следовательно, решение неравенства $x^2 - 4x + 3 > 0$ есть объединение интервалов:

$x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$

Теперь найдем общее решение, которое удовлетворяет всем условиям. Для этого найдем пересечение множеств $x \ge \frac{3}{4}$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Это пересечение можно представить как:

$([\frac{3}{4}, \infty) \cap (-\infty, 1)) \cup ([\frac{3}{4}, \infty) \cap (3, \infty))$

$[\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение этих промежутков.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$.