Номер 1, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Построить схематически график функции $y = 3^{|x|} + 1$.

1.

Для построения схематического графика функции $y = 3^{|x|} + 1$ выполним последовательные преобразования, отталкиваясь от графика базовой функции.

Этап 1: Построение графика базовой функции $y_1 = 3^x$.
Это стандартная показательная функция с основанием больше единицы. Ее график — это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ (поскольку $3^0=1$) и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$.

Этап 2: Применение модуля к аргументу — построение графика $y_2 = 3^{|x|}$.
Чтобы получить график функции $y = f(|x|)$ из графика $y=f(x)$, необходимо часть графика для $x \ge 0$ оставить без изменений, а часть для $x < 0$ заменить на симметричное отражение правой части относительно оси $Oy$.
Таким образом, график $y_2 = 3^{|x|}$ будет симметричен относительно оси $Oy$. Он будет состоять из двух ветвей:
- $y = 3^x$ при $x \ge 0$
- $y = 3^{-x}$ при $x < 0$
Этот график имеет точку минимума в $(0, 1)$.

Этап 3: Вертикальный сдвиг — построение итогового графика $y = 3^{|x|} + 1$.
Финальный график получается путем сдвига графика $y_2 = 3^{|x|}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. В результате все точки графика смещаются вверх на 1.
- Точка минимума смещается из $(0, 1)$ в точку $(0, 2)$.
- Симметрия относительно оси $Oy$ сохраняется.
- Контрольные точки также смещаются: например, точки $(\pm1, 3)$ на графике $y_2$ переходят в точки $(\pm1, 4)$ на итоговом графике.

Описание итогового графика:
График функции $y = 3^{|x|} + 1$ является четной функцией, симметричной относительно оси $Oy$. Он имеет точку глобального минимума в $(0, 2)$. Область значений функции — $[2, +\infty)$. При увеличении $|x|$, значение функции стремительно растет.

Ответ: Схематический график функции $y = 3^{|x|} + 1$ — это кривая, симметричная относительно оси ординат $Oy$, с точкой минимума в $(0, 2)$. График получается путем сдвига графика функции $y = 3^{|x|}$ на 1 единицу вверх. Для построения можно использовать контрольные точки: при $x=0, y=2$; при $x=\pm1, y=4$; при $x=\pm2, y=10$.