Номер 17, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

17. Можно ли в системе двух неравенств одинакового смысла одно из неравенств заменить:

1) почленной суммой этих неравенств;

2) почленным произведением левых и правых частей имеющихся неравенств?

Вопрос заключается в том, являются ли преобразования системы неравенств равносильными, то есть приводят ли они к системе с тем же множеством решений. Замена допустима только в том случае, если новая система равносильна исходной.

1) почленной суммой этих неравенств

Рассмотрим систему двух неравенств одинакового смысла, например:

$$\begin{cases} A > B \\ C > D\end{cases}$$

Заменим одно из неравенств, например второе, на почленную сумму этих неравенств. Получим новую систему:

$$\begin{cases} A > B \\ A + C > B + D\end{cases}$$

Проверим равносильность систем. Любое решение исходной системы будет являться решением и новой системы. Если $A > B$ и $C > D$, то по свойству числовых неравенств их можно почленно сложить, получив верное неравенство $A + C > B + D$. Таким образом, из истинности исходной системы следует истинность новой.

Однако обратное утверждение неверно. Новая система может иметь решения, которые не удовлетворяют исходной системе. Это означает, что при такой замене могут появиться посторонние решения, и системы не являются равносильными.

Приведем контрпример. Рассмотрим исходную систему:

$$\begin{cases} x > 0 \\ y > 0\end{cases}$$

Решением этой системы являются все точки $(x, y)$, лежащие в первой координатной четверти, не включая оси.

Теперь заменим второе неравенство на сумму первого и второго:

$$\begin{cases} x > 0 \\ x + y > 0 + 0\end{cases}\implies\begin{cases} x > 0 \\ x + y > 0\end{cases}$$

Возьмем точку $(x, y) = (3, -2)$. Проверим, является ли она решением новой системы:
$3 > 0$ (верно)
$3 + (-2) > 0 \implies 1 > 0$ (верно)
Точка $(3, -2)$ является решением новой системы.

Теперь проверим эту же точку для исходной системы:
$3 > 0$ (верно)
$-2 > 0$ (неверно)
Точка $(3, -2)$ не является решением исходной системы.

Так как мы нашли решение, которое удовлетворяет новой системе, но не удовлетворяет исходной, системы не равносильны.

Ответ: нет, нельзя, так как такое преобразование не является равносильным. Новая система может иметь решения, которые не являются решениями исходной системы.

2) почленным произведением левых и правых частей имеющихся неравенств

Рассмотрим ту же исходную систему:

$$\begin{cases} A > B \\ C > D\end{cases}$$

Заменим одно из неравенств, например второе, на произведение:

$$\begin{cases} A > B \\ A \cdot C > B \cdot D\end{cases}$$

Во-первых, следует отметить, что операция почленного умножения неравенств одинакового смысла корректна только в том случае, если все части неравенств ($A, B, C, D$) являются положительными числами. Если хотя бы одна из частей может быть отрицательной или нулем, то результат умножения может быть непредсказуемым. Уже одно это ограничение говорит о том, что такая замена не может быть общим правилом.

Во-вторых, даже если все части неравенств положительны, такая замена, как и в случае со сложением, приводит к неравносильной системе.

Приведем контрпример для случая с положительными частями. Исходная система:

$$\begin{cases} x > 2 \\ y > 5\end{cases}$$

Заменим второе неравенство на произведение:

$$\begin{cases} x > 2 \\ x \cdot y > 2 \cdot 5\end{cases}\implies\begin{cases} x > 2 \\ xy > 10\end{cases}$$

Возьмем точку $(x, y) = (10, 1.5)$. Проверим ее для новой системы:
$10 > 2$ (верно)
$10 \cdot 1.5 > 10 \implies 15 > 10$ (верно)
Точка $(10, 1.5)$ является решением новой системы.

Теперь проверим эту же точку для исходной системы:
$10 > 2$ (верно)
$1.5 > 5$ (неверно)
Точка $(10, 1.5)$ не является решением исходной системы.

Системы не равносильны. Это демонстрирует, что даже при соблюдении условия положительности всех частей замена приводит к появлению посторонних решений.

Ответ: нет, нельзя. Эта операция, в общем случае, некорректна для неравенств, части которых могут быть отрицательными. Но даже если все части положительны, замена не является равносильной и приводит к расширению множества решений.