Номер 1, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Построить схематически график функции:

1) $y = \left(\frac{3}{5}\right)^x;$ 2) $y = 6^x.$

Для построения схематических графиков показательных функций вида $y = a^x$ необходимо проанализировать их основные свойства, зависящие от основания $a$.

Это показательная функция с основанием $a = \frac{3}{5}$.

Проанализируем свойства функции:

• Основание: $a = \frac{3}{5}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции всегда находится выше оси абсцисс (Ox).
• Поведение на бесконечности: При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Это означает, что ось Ox является горизонтальной асимптотой для графика. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$.
• Ключевые точки: Для более точного построения найдем несколько точек.
  • При $x = -1$, $y = (\frac{3}{5})^{-1} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
  • При $x = 0$, $y = (\frac{3}{5})^0 = 1$. График любой показательной функции $y=a^x$ проходит через точку $(0, 1)$.
  • При $x = 1$, $y = (\frac{3}{5})^1 = \frac{3}{5} = 0.6$.
  • При $x = 2$, $y = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, которая проходит через точку $(0,1)$. Она убывает на всей области определения: слева направо она идет сверху вниз. Слева (при отрицательных $x$) график круто уходит вверх, а справа (при положительных $x$) он плавно приближается к оси Ox, не пересекая её.

Ответ: График функции $y = (\frac{3}{5})^x$ — это непрерывная убывающая кривая, расположенная в I и II координатных четвертях, проходящая через точку $(0,1)$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика при $x \to +\infty$.

Это показательная функция с основанием $a = 6$.

Проанализируем свойства функции:

• Основание: $a = 6$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. График функции также всегда находится выше оси абсцисс (Ox).
• Поведение на бесконечности: При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Это означает, что ось Ox является горизонтальной асимптотой для графика.
• Ключевые точки: Найдем несколько точек для построения.
  • При $x = -1$, $y = 6^{-1} = \frac{1}{6} \approx 0.17$.
  • При $x = 0$, $y = 6^0 = 1$. График проходит через точку $(0, 1)$.
  • При $x = 1$, $y = 6^1 = 6$.

Описание графика: График представляет собой гладкую кривую, проходящую через точку $(0,1)$. Она возрастает на всей области определения: слева направо она идет снизу вверх. Слева (при отрицательных $x$) график плавно приближается к оси Ox, не пересекая её. Справа (при положительных $x$) он очень быстро (резче, чем $y=x^2$ или $y=x^3$) уходит вверх.

Ответ: График функции $y = 6^x$ — это непрерывная возрастающая кривая, расположенная в I и II координатных четвертях, проходящая через точку $(0,1)$. Ось Ox является горизонтальной асимптотой графика при $x \to -\infty$.