Номер 11, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

11. Можно ли в системе из двух уравнений одно из них заменить: 1) почленной суммой этих уравнений;
2) почленной разностью этих уравнений;
3) почленным произведением этих уравнений?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно определить, является ли преобразование системы уравнений равносильным. Преобразование называется равносильным, если оно не меняет множество решений системы, то есть новая система имеет те же решения, что и исходная.

Запишем исходную систему в общем виде:

Здесь $A$ и $B$ — это некоторые выражения, зависящие от переменных системы (например, $A = f(x,y)$ и $B = g(x,y)$).

Да, можно. Такое преобразование является равносильным. Заменим, например, второе уравнение на сумму первого и второго. Получим новую систему:

Проверим равносильность:

• Если пара значений переменных является решением исходной системы, то для нее $A=0$ и $B=0$. Очевидно, что эти значения удовлетворяют и новой системе, так как $A=0$ и $A+B = 0+0=0$.
• Если пара значений является решением новой системы, то для нее $A=0$ и $A+B=0$. Подставив $A=0$ во второе равенство, получим $0+B=0$, откуда следует, что $B=0$. Значит, эта пара является решением и исходной системы.

Поскольку множества решений исходной и новой систем совпадают, замена равносильна. Этот прием (метод алгебраического сложения) широко используется при решении систем уравнений.

Ответ: Да, можно.

Да, можно. Как и в случае с суммой, это преобразование является равносильным. Система, в которой одно из уравнений заменено на их разность, будет иметь то же самое множество решений.

Новая система, в которой второе уравнение заменено разностью $A-B$:

Доказательство равносильности полностью аналогично предыдущему пункту:

• Если $A=0$ и $B=0$, то $A=0$ и $A-B = 0-0=0$.
• Если $A=0$ и $A-B=0$, то, подставив $A=0$ во второе уравнение, получаем $0-B=0$, откуда $B=0$.

Следовательно, преобразование является равносильным.

Ответ: Да, можно.

Нет, в общем случае такое преобразование не является равносильным, так как оно может привести к появлению посторонних решений. Новая система будет следствием исходной, но не наоборот.

Новая система, в которой второе уравнение заменено произведением:

Любое решение исходной системы (для которого $A = 0$ и $B = 0$) будет решением и новой (так как $A = 0$ и $A \cdot B = 0 \cdot 0 = 0$).

Однако обратное неверно. Если $A = 0$, то второе уравнение новой системы $A \cdot B = 0$ превращается в $0 \cdot B = 0$, что верно при любом значении $B$. Таким образом, решением новой системы будет любое решение уравнения $A=0$, даже если для него $B \neq 0$. Эти решения, для которых $B \neq 0$, являются посторонними для исходной системы.

Рассмотрим конкретный пример. Исходная система:

Единственное решение этой системы — пара $(1, 2)$.

Заменим второе уравнение на произведение:

Из первого уравнения получаем $x=1$. Подставим это значение во второе уравнение: $(1 - 1)(y - 2) = 0$, или $0 \cdot (y-2) = 0$. Это равенство верно для любого значения $y$. Следовательно, решением новой системы является любая пара вида $(1, y)$, где $y$ — любое действительное число ($y \in \mathbb{R}$). Множество решений расширилось, значит, преобразование не равносильно.

Ответ: Нет, в общем случае нельзя.