Номер 16, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

16. Обосновать, почему уравнение $a^x = 5 (a > 0, a \neq 1)$ имеет единственный корень.

Для обоснования единственности корня уравнения $a^x = 5$ при $a > 0$ и $a \neq 1$ можно использовать два основных подхода.

Обоснование через свойства показательной функции

Рассмотрим данное уравнение как равенство значений двух функций: $y = a^x$ и $y = 5$. Решения (корни) этого уравнения являются абсциссами (координатами $x$) точек пересечения графиков этих функций.

Функция $y = a^x$ при условиях $a > 0$ и $a \neq 1$ является показательной функцией. Она обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Строгая монотонность. Функция является строго монотонной на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Если $a > 1$, она строго возрастает; если $0 < a < 1$, она строго убывает. Строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно один раз. Это означает, что для любого числа $C$ уравнение $a^x = C$ может иметь не более одного корня.

2. Область значений. Область значений показательной функции — это множество всех положительных чисел, то есть интервал $(0; +\infty)$. Поскольку число 5 положительно, оно принадлежит этой области значений. Это гарантирует, что существует хотя бы один корень, то есть график $y = a^x$ обязательно пересечет прямую $y=5$.

Совмещая эти два факта (существует не более одного корня и существует хотя бы один корень), мы заключаем, что уравнение $a^x = 5$ имеет ровно один, то есть единственный, корень.

Обоснование через определение логарифма

Уравнение $a^x = 5$ является простейшим показательным уравнением. По определению логарифма, его решение записывается в виде $x = \log_a 5$.

Логарифм $\log_a b$ существует и является единственным действительным числом, если его основание $a$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$, а аргумент $b$ положителен ($b > 0$).

В данном уравнении все эти условия выполнены: $a > 0, a \neq 1$ по условию задачи, и $5 > 0$. Следовательно, существует единственное число $x = \log_a 5$, которое является решением уравнения.

Ответ: Уравнение $a^x=5$ при $a > 0, a \neq 1$ имеет единственный корень, потому что показательная функция $y=a^x$ является строго монотонной и принимает все положительные значения ровно по одному разу. Таким образом, значение 5 будет достигнуто при единственном значении $x$. Также, по определению логарифма, решение уравнения $x = \log_a 5$ существует и является единственным, так как все условия для существования и единственности логарифма выполнены.