Номер 10, страница 239 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

10. Какие системы уравнений (неравенств) называются равносильными?

Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. Другими словами, любое решение первой системы является решением второй, и любое решение второй системы является решением первой.

Важно отметить, что если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными, поскольку их множества решений пусты и, следовательно, равны между собой.

При решении систем часто используют равносильные преобразования, которые позволяют заменить одну систему другой, более простой, но имеющей то же самое множество решений.

Пример равносильных систем уравнений:

Рассмотрим две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $

Если сложить два уравнения, получим $2x = 8$, откуда $x=4$. Подставив $x=4$ в первое уравнение, получим $4 + y = 7$, откуда $y=3$. Таким образом, решением системы является единственная пара чисел $(4, 3)$.

Система 2: $ \begin{cases} x = 4 \\ y = 3 \end{cases} $

Решение этой системы очевидно — это пара $(4, 3)$.

Поскольку множества решений обеих систем совпадают (состоят из одной и той же пары чисел), эти системы являются равносильными.

Пример равносильных систем неравенств:

Рассмотрим две системы:

Система 1: $ \begin{cases} x > 3 \\ x \le 6 \end{cases} $

Множеством решений этой системы является полуинтервал $(3, 6]$.

Система 2: $ \begin{cases} 2x - 6 > 0 \\ -x \ge -6 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2x > 6 \implies x > 3$. Решим второе неравенство, умножив обе части на $-1$ и изменив знак на противоположный: $x \le 6$.

Множество решений второй системы также является полуинтервал $(3, 6]$.

Так как множества решений обеих систем неравенств совпадают, эти системы равносильны.

Ответ: Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Это включает в себя и случай, когда обе системы не имеют решений.