Номер 3, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

3. Перечислить свойства показательной функции.

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ — это заданное число, такое что $a > 0$ и $a \neq 1$.

Основные свойства показательной функции можно разделить на общие и те, что зависят от величины основания $a$.

Общие свойства (для любого основания $a > 0, a \neq 1$)

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(y) = (0; +\infty)$.
• Положительность: функция принимает только положительные значения ($a^x > 0$) на всей области определения.
• Точка пересечения с осью Oy: график функции всегда пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $a^0 = 1$ для любого $a$.
• Отсутствие нулей: график функции не пересекает ось абсцисс, так как уравнение $a^x = 0$ не имеет корней.
• Горизонтальная асимптота: ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Четность: функция является функцией общего вида, то есть не является ни четной, ни нечетной.

Свойства при основании $a > 1$

• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
• Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$), а при $x \to -\infty$ значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$).

Свойства при основании $0 < a < 1$

• Монотонность: функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Поведение на бесконечности: при $x \to +\infty$ значения функции стремятся к нулю ($y \to 0$), а при $x \to -\infty$ значения функции неограниченно возрастают ($y \to +\infty$).

Ответ: Ключевыми свойствами показательной функции $y = a^x$ являются: область определения — все действительные числа $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений — все положительные действительные числа $E(y) = (0; +\infty)$; обязательное прохождение графика через точку $(0, 1)$; наличие горизонтальной асимптоты $y=0$; монотонное возрастание при $a>1$ и монотонное убывание при $0 < a < 1$.