Номер 749, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

749. Решить уравнение $3^x + 4^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$.

Дано уравнение: $3^x + 4^x = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции, представляющие левую и правую части уравнения. Пусть $f(x) = 3^x + 4^x$ и $g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$. Тогда исходное уравнение можно записать в виде $f(x) = g(x)$.

Исследуем монотонность каждой из этих функций.

Функция $f(x) = 3^x + 4^x$ является суммой двух показательных функций $y_1=3^x$ и $y_2=4^x$. Основания этих функций ($3$ и $4$) больше 1, поэтому обе функции являются строго возрастающими. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, $f(x)$ — строго возрастающая функция на всей числовой оси.

Функция $g(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x + \left(\frac{1}{6}\right)^x$ является суммой двух показательных функций $y_3=\left(\frac{1}{5}\right)^x$ и $y_4=\left(\frac{1}{6}\right)^x$. Основания этих функций ($\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{6}$) находятся в интервале от 0 до 1, поэтому обе функции являются строго убывающими. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Следовательно, $g(x)$ — строго убывающая функция на всей числовой оси.

Уравнение $f(x) = g(x)$ имеет решение в точке пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим значение $x=0$: $f(0) = 3^0 + 4^0 = 1 + 1 = 2$ $g(0) = \left(\frac{1}{5}\right)^0 + \left(\frac{1}{6}\right)^0 = 1 + 1 = 2$ Поскольку $f(0) = g(0)$, значение $x=0$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x=0$.