Номер 743, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

743. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases}2^{x-y} = 128, \\(\frac{1}{2})^{x-2y+1} = \frac{1}{8};\end{cases}$

2) $\begin{cases}2^x \cdot 5^y = 10, \\5^y - 2^x = 3.\end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2^{x-y} = 128, \\ (\frac{1}{2})^{x-2y+1} = \frac{1}{8}. \end{cases}$

Преобразуем каждое уравнение, приведя степени к одинаковому основанию.

В первом уравнении представим $128$ как $2^7$. Уравнение примет вид $2^{x-y} = 2^7$. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x - y = 7$.

Во втором уравнении представим $\frac{1}{8}$ как $(\frac{1}{2})^3$. Уравнение примет вид $(\frac{1}{2})^{x-2y+1} = (\frac{1}{2})^3$. Приравнивая показатели, получаем: $x - 2y + 1 = 3$, что упрощается до $x - 2y = 2$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x - y = 7, \\ x - 2y = 2. \end{cases}$

Для ее решения вычтем второе уравнение из первого: $(x - y) - (x - 2y) = 7 - 2$.

Раскрыв скобки, получим: $x - y - x + 2y = 5$, что дает $y = 5$.

Подставим значение $y = 5$ в первое уравнение ($x - y = 7$): $x - 5 = 7$, откуда $x = 12$.

Решение системы: $(12; 5)$.

Ответ: $(12; 5)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} 2^x \cdot 5^y = 10, \\ 5^y - 2^x = 3. \end{cases}$

Для решения этой системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = 5^y$. Учитывая, что показательная функция всегда положительна, имеем $a > 0$ и $b > 0$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} a \cdot b = 10, \\ b - a = 3. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = a + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $a \cdot (a + 3) = 10$.

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение: $a^2 + 3a - 10 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

$a_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

Согласно условию $a = 2^x > 0$, корень $a_1 = -5$ является посторонним. Следовательно, единственное подходящее значение $a = 2$.

Найдем соответствующее значение $b$: $b = a + 3 = 2 + 3 = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

Из $a = 2^x$ и $a=2$ следует $2^x = 2^1$, откуда $x = 1$.

Из $b = 5^y$ и $b=5$ следует $5^y = 5^1$, откуда $y = 1$.

Решение системы: $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.