Номер 746, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

746. Решить уравнение:

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$;

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{\frac{x}{2}} \cdot 2^{\frac{x}{2}}$;

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$;

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$.

1) $\frac{0,2^{x+0,5}}{\sqrt{5}} = 5 \cdot 0,04^x$
Для решения этого уравнения приведем все его части к одному основанию, в данном случае к 5.
Представим десятичные дроби и корень в виде степеней с основанием 5:
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$\sqrt{5} = 5^{1/2} = 5^{0,5}$
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2}$
Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{(5^{-1})^{x+0,5}}{5^{0,5}} = 5^1 \cdot (5^{-2})^x$
Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим уравнение:
$\frac{5^{-x-0,5}}{5^{0,5}} = 5^{1-2x}$
$5^{-x-0,5-0,5} = 5^{1-2x}$
$5^{-x-1} = 5^{1-2x}$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$-x - 1 = 1 - 2x$
$2x - x = 1 + 1$
$x = 2$
Ответ: $2$

2) $4 \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 5 \cdot 3^{x/2} \cdot 2^{x/2}$
Это однородное показательное уравнение. Перепишем его, используя свойства степеней $a^b = (a^{b/2})^2$:
$4 \cdot (3^{x/2})^2 - 9 \cdot (2^{x/2})^2 = 5 \cdot 3^{x/2} \cdot 2^{x/2}$
Разделим обе части уравнения на $(2^{x/2})^2 = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, это преобразование является равносильным.
$4 \cdot \frac{(3^{x/2})^2}{(2^{x/2})^2} - 9 \cdot \frac{(2^{x/2})^2}{(2^{x/2})^2} = 5 \cdot \frac{3^{x/2} \cdot 2^{x/2}}{(2^{x/2})^2}$
$4 \cdot \left(\frac{3^{x/2}}{2^{x/2}}\right)^2 - 9 = 5 \cdot \frac{3^{x/2}}{2^{x/2}}$
$4 \cdot \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}\right)^2 - 5 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} - 9 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{2}\right)^{x/2}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$4t^2 - 5t - 9 = 0$
Решим его через дискриминант:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$t_1 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ (не удовлетворяет условию $t>0$)
$t_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$
Вернемся к исходной переменной:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} = \frac{9}{4}$
$\left(\frac{3}{2}\right)^{x/2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $4$

3) $2 \cdot 4^x - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 25^x = 0$
Представим $4^x$, $10^x$ и $25^x$ через степени с основаниями 2 и 5:
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$
$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$
$25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $25^x = (5^x)^2$, что не равно нулю ни при каком $x$.
$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$
$2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 5 = 0$
Сделаем замену $t = (\frac{2}{5})^x$. Учитывая, что $t > 0$, получаем квадратное уравнение:
$2t^2 - 3t - 5 = 0$
Решим его:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$ (не удовлетворяет условию $t>0$)
$t_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
Выполним обратную замену:
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \frac{5}{2}$
$\left(\frac{2}{5}\right)^x = \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$
Отсюда следует:
$x = -1$
Ответ: $-1$

4) $4 \cdot 9^x + 12^x - 3 \cdot 16^x = 0$
Представим члены уравнения через степени с основаниями 3 и 4:
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$
$12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$
$16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$
Подставим в уравнение:
$4 \cdot (3^x)^2 + 3^x \cdot 4^x - 3 \cdot (4^x)^2 = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части на $16^x = (4^x)^2 \neq 0$:
$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} + \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} - 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$
$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} + \left(\frac{3}{4}\right)^x - 3 = 0$
Произведем замену $t = (\frac{3}{4})^x$, где $t > 0$.
$4t^2 + t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение:
$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$t_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ (посторонний корень, так как $t>0$)
$t_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Вернемся к переменной $x$:
$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$
$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$
Следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$