Номер 750, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

750. Найти все значения b, при которых уравнение

$4^x - (5b - 3) \cdot 2^x + 4b^2 - 3b = 0$

имеет единственный корень.

Данное уравнение $4^x - (5b - 3) \cdot 2^x + 4b^2 - 3b = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.С учетом замены, исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:$t^2 - (5b - 3)t + 4b^2 - 3b = 0$.

Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно вычислить дискриминант, но в данном случае корни легко угадываются, если заметить, что свободный член $4b^2 - 3b$ раскладывается на множители $b(4b-3)$. Проверим, являются ли $t_1 = b$ и $t_2 = 4b - 3$ корнями уравнения с помощью теоремы Виета.Сумма корней: $t_1 + t_2 = b + (4b - 3) = 5b - 3$. Это соответствует коэффициенту при $t$, взятому с противоположным знаком.Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = b(4b - 3) = 4b^2 - 3b$. Это соответствует свободному члену.Следовательно, корнями квадратного уравнения являются $t_1 = b$ и $t_2 = 4b - 3$.

Теперь нам нужно найти все значения параметра $b$, при которых ровно один из этих корней положителен. Рассмотрим следующие случаи:

1. Корни равны и положительны ($t_1 = t_2 > 0$).$b = 4b - 3$$3b = 3$$b = 1$.При $b=1$ оба корня равны $t_1 = t_2 = 1$. Так как $1 > 0$, это значение $b$ удовлетворяет условию задачи. Уравнение имеет единственный корень $t=1$, что дает единственный корень $x=0$.

2. Один корень положителен, а другой отрицателен или равен нулю ($t_1 > 0$ и $t_2 \le 0$, или $t_2 > 0$ и $t_1 \le 0$).

Рассмотрим первую подсистему:$\begin{cases} t_1 > 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ 4b - 3 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ 4b \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} b > 0 \\ b \le \frac{3}{4} \end{cases}$.Решением этой системы является интервал $b \in (0, \frac{3}{4}]$.

Рассмотрим вторую подсистему:$\begin{cases} t_2 > 0 \\ t_1 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4b - 3 > 0 \\ b \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4b > 3 \\ b \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} b > \frac{3}{4} \\ b \le 0 \end{cases}$.Эта система не имеет решений.

Объединяя все найденные значения $b$, получаем, что исходное уравнение имеет единственный корень при $b=1$ и при $b \in (0, \frac{3}{4}]$.

Ответ: $b \in (0, \frac{3}{4}] \cup \{1\}$.