Номер 747, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

747. Решить неравенство:

1) $3^{|x-2|} < 9;$

2) $4^{|x+1|} \ge 16;$

3) $2^{|x-2|} \ge 4^{|x+1|};$

4) $5^{|x+4|} < 25^{|x|}.$

Исходное неравенство: $3^{|x-2|} < 9$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Неравенство принимает вид: $3^{|x-2|} < 3^2$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$|x-2| < 2$.

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-2 < x-2 < 2$.

Прибавим ко всем частям неравенства 2, чтобы найти $x$:

$-2 + 2 < x - 2 + 2 < 2 + 2$

$0 < x < 4$.

Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0, 4)$.

Исходное неравенство: $4^{|x+1|} > 16$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 4: $16 = 4^2$.

Неравенство принимает вид: $4^{|x+1|} > 4^2$.

Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$|x+1| > 2$.

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

$x+1 > 2$ или $x+1 < -2$.

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x+1 > 2 \implies x > 1$.

2) $x+1 < -2 \implies x < -3$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

Исходное неравенство: $2^{|x-2|} \ge 4^{|x+1|}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию 2. Так как $4 = 2^2$, то $4^{|x+1|} = (2^2)^{|x+1|} = 2^{2|x+1|}$.

Неравенство принимает вид: $2^{|x-2|} \ge 2^{2|x+1|}$.

Поскольку основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$|x-2| \ge 2|x+1|$.

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(|x-2|)^2 \ge (2|x+1|)^2$

$(x-2)^2 \ge 4(x+1)^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 - 4x + 4 \ge 4(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 - 4x + 4 \ge 4x^2 + 8x + 4$.

Перенесем все члены в правую часть:

$0 \ge 4x^2 - x^2 + 8x + 4x + 4 - 4$

$0 \ge 3x^2 + 12x$.

Или, что то же самое: $3x^2 + 12x \le 0$.

Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x \le 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x+4) \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1=0$, $x_2=-4$.

Решением неравенства является промежуток между корнями, включая сами корни, так как ветви параболы $y=x^2+4x$ направлены вверх, а нам нужно найти, где $y \le 0$.

$-4 \le x \le 0$.

Ответ: $x \in [-4, 0]$.

Исходное неравенство: $5^{|x+4|} < 25^{|x|}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 5. Так как $25 = 5^2$, то $25^{|x|} = (5^2)^{|x|} = 5^{2|x|}$.

Неравенство принимает вид: $5^{|x+4|} < 5^{2|x|}$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$|x+4| < 2|x|$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат:

$(|x+4|)^2 < (2|x|)^2$

$(x+4)^2 < 4x^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 + 8x + 16 < 4x^2$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$0 < 3x^2 - 8x - 16$.

Решим неравенство $3x^2 - 8x - 16 > 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 - 8x - 16 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.

Парабола $y = 3x^2 - 8x - 16$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство $3x^2 - 8x - 16 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.

Таким образом, $x < -4/3$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3) \cup (4, \infty)$.