Номер 742, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

742. Решить неравенство:

1) $8,4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1;$

2) $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3}(10^3 - x)^2;$

3) $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x;$

4) $\frac{1}{3^x+5} \leq \frac{1}{3^{x+1}-1}.$

1) $8.4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 1$
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 8,4. Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:
$8.4^{\frac{x-3}{x^2+1}} < 8.4^0$
Поскольку основание степени $8.4 > 1$, показательная функция с таким основанием является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\frac{x-3}{x^2+1} < 0$
Теперь решим это рациональное неравенство. Знаменатель дроби, $x^2+1$, всегда положителен при любом действительном значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2+1 \ge 1$.
Поскольку знаменатель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$x-3 < 0$
$x < 3$
Решением неравенства является интервал $(-\infty, 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 3)$.

2) $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} < 10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2$
Упростим обе части неравенства, используя свойства степеней: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Левая часть: $2^{x^2} \cdot 5^{x^2} = (2 \cdot 5)^{x^2} = 10^{x^2}$.
Правая часть: $10^{-3} \cdot (10^{3-x})^2 = 10^{-3} \cdot 10^{2(3-x)} = 10^{-3} \cdot 10^{6-2x} = 10^{-3+6-2x} = 10^{3-2x}$.
После упрощения неравенство принимает вид:
$10^{x^2} < 10^{3-2x}$
Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция является возрастающей, и мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:
$x^2 < 3-2x$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$x^2 + 2x - 3 < 0$
Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
График функции $y = x^2 + 2x - 3$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями.
Следовательно, решение неравенства есть интервал $-3 < x < 1$.
Ответ: $x \in (-3, 1)$.

3) $\frac{4^x - 2^{x+1} + 8}{2^{1-x}} < 8^x$
Приведем все степени к одному основанию, в данном случае к 2:
$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$
$2^{1-x} = 2^1 \cdot 2^{-x} = \frac{2}{2^x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$\frac{2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8}{2^{1-x}} < 2^{3x}$
Знаменатель $2^{1-x}$ всегда положителен, поэтому мы можем умножить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства:
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x} \cdot 2^{1-x}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{3x + 1 - x}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2^{2x+1}$
$2^{2x} - 2 \cdot 2^x + 8 < 2 \cdot 2^{2x}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0 < 2 \cdot 2^{2x} - 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8$
$0 < (2-1) \cdot 2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8$
$2^{2x} + 2 \cdot 2^x - 8 > 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$t^2 + 2t - 8 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни равны $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Решением неравенства $t^2 + 2t - 8 > 0$ являются $t < -4$ или $t > 2$.
Учитывая ограничение $t > 0$, получаем единственное решение для $t$: $t > 2$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$2^x > 2$
$2^x > 2^1$
Так как основание $2 > 1$, то $x > 1$.
Ответ: $x \in (1, \infty)$.

4) $\frac{1}{3^x + 5} \le \frac{1}{3^{x+1} - 1}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
1. $3^x + 5 \neq 0$. Это условие выполняется для всех действительных $x$, так как $3^x > 0$, а значит $3^x + 5 > 5$.
2. $3^{x+1} - 1 \neq 0 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 1 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 3^0 \Rightarrow x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{3^x + 5} - \frac{1}{3^{x+1} - 1} \le 0$
$\frac{(3^{x+1} - 1) - (3^x + 5)}{(3^x + 5)(3^{x+1} - 1)} \le 0$
Упростим числитель: $3^{x+1} - 1 - 3^x - 5 = 3 \cdot 3^x - 3^x - 6 = 2 \cdot 3^x - 6 = 2(3^x - 3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2(3^x - 3)}{(3^x + 5)(3 \cdot 3^x - 1)} \le 0$
Сделаем замену $t = 3^x$. Учитывая, что $3^x>0$, получаем $t>0$.
$\frac{2(t - 3)}{(t + 5)(3t - 1)} \le 0$
Так как $t>0$, то множитель $t+5$ в знаменателе всегда положителен. Значит, его можно опустить, сохранив знак неравенства (умножив обе части на $t+5 > 0$):
$\frac{t - 3}{3t - 1} \le 0$
Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $t=3$ и $t=1/3$.
Эти точки разбивают положительную полуось $t>0$ на интервалы $(0, 1/3)$, $(1/3, 3]$ и $(3, \infty)$.
Проверяя знак выражения $\frac{t - 3}{3t - 1}$ в каждом интервале, находим, что оно отрицательно, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, что выполняется при $1/3 < t < 3$.
Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), мы включаем корень числителя $t=3$. Корень знаменателя $t=1/3$ исключается.
Таким образом, решение для $t$ есть $1/3 < t \le 3$.
Вернемся к переменной $x$:
$1/3 < 3^x \le 3$
Запишем $1/3$ и $3$ как степени с основанием 3:
$3^{-1} < 3^x \le 3^1$
Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, и мы можем перейти к неравенству для показателей:
$-1 < x \le 1$
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).
Ответ: $x \in (-1, 1]$.