Номер 735, страница 237 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

735. Выяснить, являются ли равносильными уравнения:

1) $5^x = 3^x$ и $(\frac{1}{3})^x = 3^x$;

2) $7^x = 1$ и $x^2 = 0$;

3) $4^x = 2$ и $x^2 = \frac{1}{4}$;

4) $(\frac{1}{3})^x = 9$ и $x\sqrt{\frac{1}{4}} = 16$.

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы выяснить, являются ли представленные пары уравнений равносильными, необходимо найти корни каждого уравнения в паре и сравнить полученные множества решений.

1)
Решим первое уравнение: $5^x = 3^x$. Поскольку $3^x \neq 0$ для любого действительного $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^x$:
$\frac{5^x}{3^x} = 1$
$(\frac{5}{3})^x = 1$
Это равенство верно только тогда, когда показатель степени равен нулю, то есть $x = 0$. Множество решений первого уравнения: $\{0\}$.
Решим второе уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 3^x$. Представим левую часть как степень с основанием 3:
$(3^{-1})^x = 3^x$
$3^{-x} = 3^x$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:
$-x = x \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
Множество решений второго уравнения также $\{0\}$.
Так как множества решений обоих уравнений совпадают, они являются равносильными.
Ответ: уравнения являются равносильными.

2)
Решим первое уравнение: $7^x = 1$. Мы знаем, что любое число в степени 0 равно 1, поэтому $7^x = 7^0$, откуда $x = 0$. Множество решений: $\{0\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = 0$. Единственным решением этого уравнения является $x = 0$. Множество решений: $\{0\}$.
Множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: уравнения являются равносильными.

3)
Решим первое уравнение: $4^x = 2$. Приведем левую часть к основанию 2:
$(2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1$.
Приравнивая показатели, получаем $2x = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$. Множество решений: $\{\frac{1}{2}\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = \frac{1}{4}$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \implies x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.
Множество решений второго уравнения: $\{-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\}$.
Множества решений не совпадают.
Ответ: уравнения не являются равносильными.

4)
Решим первое уравнение: $(\frac{1}{3})^x = 9$. Приведем обе части к основанию 3:
$(3^{-1})^x = 3^2 \implies 3^{-x} = 3^2$.
Приравнивая показатели, получаем $-x = 2$, то есть $x = -2$. Множество решений: $\{-2\}$.
Решим второе уравнение: $\sqrt[x]{\frac{1}{4}} = 16$. Перепишем его в виде степени:
$(\frac{1}{4})^{\frac{1}{x}} = 16$.
Приведем обе части к основанию 4:
$(4^{-1})^{\frac{1}{x}} = 4^2 \implies 4^{-\frac{1}{x}} = 4^2$.
Приравнивая показатели, получаем $-\frac{1}{x} = 2$, откуда $x = -\frac{1}{2}$. Множество решений: $\{-\frac{1}{2}\}$.
Множества решений $\{-2\}$ и $\{-\frac{1}{2}\}$ не совпадают.
Ответ: уравнения не являются равносильными.